01. Равносильность уравнений
02. Равносильность уравнений (продолжение)
03. Равносильность уравнений, примеры
04. Общие методы решения уравнений
05. Метод разложения на множители
06. Метод введения новой переменной
07. Функционально-графический метод
08. Решение неравенств с одной переменной, равносильность неравенств
09. Метод интервалов
18 мин
10. Системы и совокупности неравенств
11. Иррациональные неравенства
12. Неравенства с модулями
13. Уравнения и неравенства с двумя переменными
14. Системы уравнений. Основные сведения и примеры
15. Системы уравнений. Метод подстановки
16. Системы уравнений. Метод алгебраического сложения
17. Системы уравнений. Метод введения новых переменных
18. Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры
19. Линейная функция в задачах с параметром
20. Квадратичная функция в задачах с параметром
21. Графический метод в задачах с параметром
22. Графический метод в задачах с параметром. Продолжение решения задач
08. Решение неравенств с одной переменной, равносильность неравенств
Видео доступно по абонементу
На данном уроке мы приступим к теме «Решение неравенств с одной переменной. Равносильность неравенств». На занятии мы обсудим важное понятие равносильности неравенств. Рассмотрим процесс решения таких неравенств с одной переменной путём замены более сложного неравенства более простым, но равносильным.
Рассмотрим решение в общем виде: (1).
называется частным решением, если .
Множество всех частных решений есть общее решение (или просто решение) неравенства. Решить неравенство – значит найти его общее решение.
Рассмотрим отличия неравенств от уравнений:
Имеет бесконечное множество решений (как правило).
Невозможна проверка подстановкой в исходное неравенство.
Поэтому неравенства можно решать только равносильными преобразованиями:
(2)
Решение неравенства заключается в замене исходного неравенства более простым, но равносильным неравенством.
Определение 1.
Неравенства (1) и (2) называются равносильными, если их решения совпадают.
.
1.
2.
Множества решений совпадают. Значит:
Определение 2. Если решение неравенства (1) содержится в решении неравенства (2), то неравенство (2) есть следствие неравенства (1).
.
Рассмотрим некоторые из равносильных преобразований:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Рассмотрим примеры, в которых можно допустить типовые ошибки:
1.
Решение:
Ответ: ( – частные решения)
Проблема в умножении на
Он мог быть и отрицательным, и положительным. Надо менять знак.
Правило: в неравенствах нельзя умножать на если его знак не известен.
2.
Решение:
Ответ: (верно).
Правильное решение:
3.
Ответ: или .
Мы рассмотрели важное понятие равносильности неравенств. На следующем уроке рассмотрим метод интервалов.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Проверь себя
Решить неравенства:
а)
б)Решить неравенства:
a) ;
б) .Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1745, 1746, 1747.
Полезные ссылки
"