04. Решение прямоугольного треугольника. Решение задачи B4

Прямоугольный треугольник, основные элементы и соотношения

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АВС.

В данном треугольнике угол

Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Для прямоугольного треугольника всегда справедливы равенства:

Отсюда можно выразить катет или гипотенузу через другие элементы. Имеем:

Помимо формул, которые приведены выше, существуют также формулы для связи между тригонометрическими функциями.

Познакомимся с этими формулами поближе:

1. – первая формула, связывает тангенс с синусом и косинусом, некоторые ошибочно полагают, что это определение тангенса, но это скорее следствие из определения

2. – основное тригонометрическое тождество. Оно связывает синус и косинус.

3. – связывает тангенс и косинус.

4. – связывает котангенс и синус.

Доказательство основных тригонометрических тождеств

Рассмотрим выведение основных тригонометрических формул.

Распишем синус и косинус по определению:

Распишем синус и косинус по определению:

В числителе, согласно теореме Пифагора, получен квадрат гипотенузы, имеем:

Воспользуемся тем, что мы вывели в первой формуле:

В предыдущем доказательстве мы выяснили, что сумма квадратов синуса и косинуса равна единице, имеем:

Поступим аналогично предыдущему доказательству:

Пример решения прямоугольного треугольника

Пример 1: в треугольнике . Найти ВС

Вспомним, что – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Дадим 2 решения задачи.

1. Пусть

   (по определению) (по обозначению)

   (по условию) (по свойству пропорции)

2. Пусть

Отметим, что в общем случае уравнение имеет два решения, но для прямоугольного треугольника, где острый угол А не может превышать , косинус может быть только положительным, поэтому второй корень сразу отбрасываем.

Дополнительный пример – задача из ЕГЭ

Дополнительный пример: в треугольнике . Найти AС.

Вспомним, что косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, имеем:

Пример 2: в треугольнике . Найти

В данном случае нам дан лишь один элемент – синус острого угла, но, оказывается, его достаточно, чтобы найти косинус того же угла. Для этого применим основное тригонометрическое тождество.

Пример 3: в треугольнике . Найти АС

Проще всего решить эту задачу будет предыдущим методом, обозначить катет через x и дальше по теореме Пифагора найти x.

Пусть

Примеры решения прямоугольных треугольников

Иногда прямоугольный треугольник может быть изначально не задан, но при изучении условия он появляется, и структура решения остается той же.

Пример 4: дан равнобедренный треугольник . Найти .

Проведем из вершины С, высоту CH. Получим прямоугольный треугольник .

Найдем CH по теореме Пифагора.

Катет АС задан по условию как сторона равнобедренного треугольника. Катет АН равен половине заданной стороны АВ, так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой (высота СН, Н – середина )

Некоторые хитрости при решении прямоугольных треугольников, дополнительные примеры

Одной из хитростей при решении прямоугольных треугольников является знание т. н. Пифагоровых треугольников со сторонами 3, 4, 5 и 5, 12, 13:

Кроме того, есть треугольники, подобные Пифагоровым, то есть такие, у которых стороны пропорциональны данным, то есть умножены на какое-то число. Например, берем треугольник со сторонами 3, 4, 5 и коэффициент подобия 2, получаем треугольник со сторонами 6, 8, 10.

Дополнительный пример: в треугольнике . Найти АС.

Вспомним, что стандартный треугольник имеет стороны 5, 12 и 13. Гипотенуза совпадает и равна 13. Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, если противолежащий катет равен 5, то отношение , как и задано в условии, в таком случае прилежащий катет равен .

Дополнительный пример: в треугольнике . Найти ВС.

В стандартном Пифагоровом треугольнике стороны равны , если напротив угла A лежит катет 3, а при нем катет 4, что пока соответствует заданному условию. Но т. к. гипотенуза равна 20 а не 5, значит, имеем подобный стандартному прямоугольный треугольник, необходимо определить коэффициент подобия, очевидно, что он равен 4. Домножим катеты на коэффициент подобия и получим треугольник со сторонами 12, 16, 20. Искомый катет ВС в нем равен 12.

Дополнительный пример: в треугольнике . Найти АС.

Решим данный пример вторым способом.

Предположим, что катеты треугольника равны и 4, чтобы проверить эту гипотезу, запишем теорему Пифагора:

Поскольку теорема Пифагора соблюдена, заданный треугольник обладает катетами  и 4 и гипотенузой 7, искомый катет .

Итак, сегодня мы познакомились с прямоугольным треугольником, узнали, как выразить одни элементы прямоугольного треугольника через другие, познакомились с рядом формул, связывающих тригонометрические функции углов треугольника, элементы прямоугольного треугольника и решили ряд задач на применение этих формул.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. ЕГЭ по математике

Проверьте себя

Найти недостающие элементы прямоугольного треугольника

а) ;

б) ;

в) ;

г) .