06. Решение текстовых задач на смеси и проценты

Основные сведения о процентах

Процентом называется одна сотая часть от заданного числа.

Рассмотрим значения основных процентов. Пусть дано некоторое число а.

1. от числа a – это само число а, т. к. один процент – одна сотая, сто процентов – сто сотых, то есть единица;

2. от числа a – это ноль;

3. от числа a – это ;

4. x % от числа a – это ;

5. Увеличить число на заданный процент x – значит к исходному числу a прибавить от этого числа: ;

6. Уменьшить число на заданный процент x – значит от исходного числа a отнять от этого числа: ;

Решение простейших задач на проценты

Пример 1: вычислить от числа

Пример 2: уменьшить число 150 на .

Данную задачу можно решать несколькими способами.

2. Все число 150 составляет , нам необходимо уменьшить его на , т. е. взять от числа

Пример 3: определить, какой процент от числа 85 составляет число 17.

Пусть число 17 составляет от числа 85, тогда по определению процента имеем:

Пример 4: в 2009 году в квартале проживало 40000 человек. В 2010 году естественный прирост населения составил , а в 2011 году – по сравнению с 2010 годом. Сколько человек проживало в квартале в 2011 году?

Определим прирост населения в 2010 году:

Так, в 2010 году в квартале проживало человек.

Определим прирост населения в 2011 году:

Так, в 2011 году в квартале проживало человек.

Решение более сложной задачи на проценты

Задачу можно решить иначе. Количество людей, проживающих в квартале на 2009 год, – это . В 2010 году это количество увеличилось на , стало .

Так, чтобы определить количество жителей квартала на 2010 год, нужно посчитать от числа

.

Чтобы посчитать количество жителей квартала на 2011 год, нужно посчитать от полученного числа

.

Если пропустить промежуточное действие, получим: .

Подход к решению текстовых задач, в частности, задач на смеси

Перейдем к задачам на смеси. Прежде всего, рассмотрим основные идеи решения любых текстовых задач, в том числе и только что решенной задачи (пример 4). Сначала нужно внимательно прочитать условие задачи, подробно остановиться на каждой строчке и попытаться представить ее в виде некоторого уравнения или системы уравнений. Иногда для этого требуется вводить какие-то переменные, а иногда просто последовательно выполнить определенные вычисления.

Задачи на смеси отличаются наличием специфической формулы:

, где масса вещества, процентное содержание вещества в смеси, масса смеси.

Отметим, что в зависимости от условия задачи формула может несколько измениться, например, если речь идет о газах, то вместо массы фигурирует объем:

, где объем вещества, процентное содержание вещества в смеси, объем смеси.

Кроме того, если речь идет, например, о растворах, то фигурирует масса раствора, а не смеси, если о сплавах – масса сплава, и т. д.

Решение задачи на смеси

Пример 5: в сосуд, содержащий 5 л −го раствора некоторого вещества, долили 7 л воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

Так, нам требуется узнать, сколько процентов составит объем вещества от объема нового раствора.

При решении подобных задач удобно вносить данные в таблицу:

Объем исходного раствора нам задан. Объем нового раствора легко определить, так как в исходный долили 7 л воды, получаем л. Процентное содержание вещества в исходном растворе задано. Процентное содержание вещества в новом растворе требуется найти, его и обозначим за x. Тогда с помощью уравнения смеси можем посчитать объем вещества в исходном и новом растворе. В исходном он составит л; в новом – Очевидно, что от того, что мы долили в раствор воду, объем вещества в растворе не изменился, и в новом растворе также составляет л. Так, получено уравнение:

Ответ: новый раствор будет -й концентрации

Дополнительная задача на проценты

Дополнительный пример:

Семья состоит из мужа, жены и дочери, и совокупный семейный доход состоит из зарплат мужа и жены и стипендии дочери. Известно, что если зарплата мужа возрастет в два раза, совокупный семейный доход увеличится на 67%. Если же стипендия дочери уменьшится в три раза, то совокупный семейный доход уменьшится на 4%. Какой процент от семейного дохода составляет зарплата жены?

Составим табличку:

Вводим три переменных для дохода мужа, жены и дочери соответственно. Теперь, глядя на таблицу, составляем уравнения. Первое уравнение берем из фразы: если зарплата мужа возрастет в два раза, совокупный семейный доход увеличится на

Второе уравнение берем из фразы: если стипендия дочери уменьшится в три раза, то совокупный семейный доход уменьшится на

Получена система двух уравнений:

Можно попробовать решить систему «в лоб»: выразить x в первом уравнении, подставить во второе и т. д., но данный путь решения довольно громоздкий. Мы же применим маленькую хитрость:

Так, отметим, что зарплата мужа составляет семейного бюджета.

Этот факт можно было заметить из таблицы: доход семьи увеличился на x, и это соответствует увеличению на , т. о. x составляет дохода.

Аналогичным образом преобразуем второе уравнение:

Так, стипендия дочери составляет семейного бюджета.

. Отсюда очевидно, что зарплата жены составляет .

Дополнительная задача на смеси

Дополнительный пример:

Есть два сплава. Первый содержит никеля (Ni), второй – . Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, который содержит никеля. На сколько килограмм масса первого сплава меньше массы второго?

Составим таблицу:

Поскольку нам требуется узнать массы исходных сплавов, обозначим их за х и у. Массу никеля в каждом сплаве определяем по формуле:. Для третьей строки таблицы это значение легко найти: кг. Для первой и второй строки – это и соответственно.

Теперь составим уравнения. Отметим, что третий сплав получили из первого и второго, значит, его масса равна сумме масс первого и второго сплавов: .

Кроме того отметим, что количество никеля в третьем сплаве равно суммарному количеству никеля в первом и втором сплавах: .

Получили систему двух уравнений:

Решим методом алгебраического сложения:

Ответ: масса первого сплава на кг меньше массы второго.

Итак, мы рассмотрели понятие процента, простейшие задачи, связанные с процентами и различные текстовые задачи на проценты. Кроме того, рассмотрели важную формулу смеси и решили различные текстовые задачи на смеси.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. ЕГЭ по математике

Проверьте себя

1. Задача 1: количество абитуриентов города в 2011 году составило 2000 человек. В 2012 году количество уменьшилось на 13 %, а в 2013 году увеличилось на 25 % по сравнению с 2012 годом. Увеличилось ли число абитуриентов в 2013 году по сравнению с 2011 годом и на сколько процентов? Определите суммарное количество абитуриентов за три года.

2. Задача 2: в пробирке было 250 мл 15 %-го раствор соли, в него долили 100 мл воды и досыпали 5 г соли. Какова концентрация полученного раствора?

3. Задача 3: в двух разделенных стенкой камерах находились смеси кислорода с хлором. В первой камере хлор составлял 3 %, во второй камере – 0,25 %. После того как стенку между камерами убрали, получилась одна камера объемом 25 м³ с концентрацией хлора 2 %. Определите объемы каждой камеры.