10. Системы и совокупности неравенств

В данном уроке мы рассмотрим системы и совокупности различных неравенств, приведём соответствующие примеры.

Рассмотрим систему неравенств:

Мы знаем, как решить каждое из этих неравенств. Найти решение каждого неравенства – значит найти множество всех при которых неравенство обращается в верное числовое соотношение. Предположим, мы нашли такое множество для каждого из заданных уравнений системы:

Решить систему – означает найти все удовлетворяющие одновременно и первому, и второму неравенству, то есть принадлежащие и множеству А, и множеству В.

Пример 1 – решить систему неравенств:

Покажем решение системы графически:

Очевиден ответ: .

Комментарий: только значения находящиеся на выбранном отрезке, удовлетворяют одновременно первому и второму неравенству.

Рассмотрим совокупность двух неравенств:

Предположим, мы нашли решения обоих неравенств:

Решить совокупность – означает найти все которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, то есть входят хотя бы в одно из множеств А или В.

Например:

Полученные интервалы проиллюстрированы на рисунке. Очевиден ответ: .

Теперь можем дать строгие определения.

Определение:

Пересечением двух множеств А и В называют такое множество С, которое состоит из всех элементов, входящих одновременно и в множество А, и в множество В.

Определение:

Объединением двух множеств А и В называют такое множество D, которое состоит из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А или В.

Пример 1 – решить систему и совокупность:

а)

Проиллюстрируем решение:

б)

Проиллюстрируем решение:

в)

Поскольку во втором множестве нет ни одного элемента, то общей части у множеств тоже нет.

.

Пример 2 – решить систему неравенств и их совокупность:

Решаем первое неравенство методом интервалов:

ОДЗ:

Корни:

Покажем интервалы знакопостоянства и знаки функции на них:

Таким образом, решение первого неравенства: .

Рассмотрим второе неравенство: .

Задана квадратичная функция, корни её , ветви параболы направлены вверх. Интересующие нас значения находятся в интервале за корнями. Проиллюстрируем:

Таким образом, решение второго неравенства: .

В результате преобразований получена система:

Получили

Получили: .

Проиллюстрируем:

Итак, мы рассмотрели системы и совокупности неравенств, ввели строгие определения и решили несколько примеров. Далее перейдём к решению иррациональных неравенств.

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Прикладная математика.

Проверь себя

1. Решить систему и совокупность:

а) ;

б)

в)

г) .

2. Решить систему и совокупность:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .