15. Системы уравнений. Метод подстановки

Основные сведения о системах уравнений и их решении

Рассмотрим системы двух уравнений с двумя неизвестными (1) и трех уравнений с тремя неизвестными (2).

Здесь р и q – некоторые выражения, зависящие от пары переменных х и у.

Здесь р, q и r – некоторые выражения, зависящие от тройки переменных х, у и z.

Частным решением системы 1 называется пара чисел такая, при подстановке которой в уравнения системы получим верные равенства.

Частным решением системы 2 называется тройка чисел такая, при подстановке которой в уравнения системы получим верные равенства.

Решить систему уравнений означает найти множество всех ее решений.

Чтобы найти множество всех решений системы, лучше всего пользоваться эквивалентными или равносильными преобразованиями, то есть такими, которые не искажают множество решений. В результате таких преобразований мы получаем равносильные системы, то есть имеющие одно и то же множество решений

Таким образом, процесс решения системы сводится к постепенному переходу от заданной сложной системы к все более простой и так до тех пор, пока не получим ответ.

Методы решения систем с помощью эквивалентных преобразований:

• метод подстановки;           

• метод алгебраического сложения;

• метод введения новых переменных;

Суть метода подстановки

Повторим метод подстановки. Напомним суть данного метода. Мы рассматриваем заданную систему вида 1 и замечаем, что в одном из уравнений, пусть во втором, легко выразить одну переменную через другую, пусть у через

Полученное выражение подставляем в первое уравнение системы:

Таким образом мы получаем одно уравнение (в данном случае первое) только относительно х. решаем это уравнение, находим все значения х, подставляем их в выражение для у и находим соответствующие значения у.

Решение примеров

Пример 1 – решить систему методом подстановки:

В данном случае удобно из первого уравнения выразить

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

Находим соответствующие значения у:

Ответ:

Пример 2 – решить систему методом подстановки:

В данном случае удобно из первого уравнения выразить х:

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

Находим соответствующее значение

Ответ:

В следующей системе важно обратить внимание на ОДЗ.

Пример 3 – решить систему методом подстановки:

Укажем ОДЗ для первого уравнения:

При соблюдении ОДЗ первое уравнение можно преобразовать:

Имеем систему:

В данном случае удобно из первого уравнения выразить

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

Находим соответствующие значения

Сверившись с ОДЗ, выписываем ответ.

Ответ:

Пример 4 – решить систему методом подстановки:

В данном случае удобно из первого уравнения выразить

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

Находим соответствующие значения

Ответ:

Обратим внимание, что n здесь пробегает все целочисленные значения

Пример 5 – решить систему методом подстановки:

Рассмотрим первое уравнение:

ОДЗ соблюдено

Получили равносильную систему:

В данном случае удобно из первого уравнения выразить

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

Находим соответствующие значения

Ответ:

Итак, мы рассмотрели метод подстановки при решении систем двух уравнений с двумя неизвестными, далее рассмотрим метод алгебраического сложения.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Проверьте себя

1. Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, №190(б,г), 191(б,г) ст.289;

2. Решить систему методом подстановки:
   a) ; б) ; в) ; г) ;

3. Решить систему методом подстановки:
   a) ; б) ; в) ; г) .