17. Системы уравнений. Метод введения новых переменных

Основные сведения о системах уравнений и их решении

Рассмотрим системы двух уравнений с двумя неизвестными (1) и трех уравнений с тремя неизвестными (2).

Здесь р и q – некоторые выражения, зависящие от пары переменных х и у.

Здесь р, q и r – некоторые выражения, зависящие от тройки переменных х, у и z.

Частным решением системы 1 называется пара чиселтакая, при подстановке которой в уравнения системы получим верные равенства.

Частным решением системы 2 называется тройка чиселтакая, при подстановке которой в уравнения системы получим верные равенства.

Решить систему уравнений означает найти множество всех ее решений.

Чтобы найти множество всех решений системы, лучше всего пользоваться эквивалентными или равносильными преобразованиями, то есть такими, которые не искажают множество решений. В результате таких преобразований мы получаем равносильные системы, то есть имеющие одно и то же множество решений

Таким образом, процесс решения системы сводится к постепенному переходу от заданной сложной системы к все более простой и так до тех пор, пока не получим ответ.

При использовании эквивалентных преобразований проверка решений не является обязательной.

Методы решения систем с помощью эквивалентных преобразований:

• метод подстановки;           

• метод алгебраического сложения;

• метод введения новых переменных;

Суть метода введения новых переменных

Цель данного урока – метод введения новых переменных. Рассмотрим суть метода на конкретном примере:

Несложно заметить в обоих уравнениях системы одинаковые выражения. Поэтому первым действием вводим новые переменные:

Выполняем замену:

Получена простейшая линейная система, которую можем решить любым из ранее рассмотренных способов. Решим с помощью метода подстановки. Выразим а в первом уравнении и подставим во второе:

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным:

Ни один из знаменателей не равен нулю, значит ОДЗ соблюдено. Продолжим решение. Полученную систему можно решать различными способами, решим ее методом подстановки, выразим х во втором уравнении и подставим полученное выражение в первое уравнение:

Ответ:

Решение системы тригонометрических уравнений

Специфика следующей тригонометрической системы позволяет воспользоваться методом введения новых переменных.

Пример 1 – решить систему методом введения новых переменных:

Вводим и изучаем новые переменные:

Производим замену:

Полученную систему можно решать различными способами, мы применим метод алгебраического сложения:

Подставим найденное значение в первое уравнение и найдем

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ. Переходим к исходным переменным:

Ответ:

Обратим внимание, что здесь n и k никак не связаны между собой и при нахождении значений х и у нужно ставить разные целочисленные переменные.

Решение системы логарифмических уравнений

Пример 2 – решить систему методом введения новых переменных:

Очевидна замена:

Не забываем про ОДЗ:

Преобразуем:

Решим полученную систему методом подстановки, выразим в первом уравнении а и подставим во второе уравнение:

Вернемся к исходным переменным:

Ответ:

Итак, мы рассмотрели метод введения новых переменных при решении систем. Далее перейдем к задачам с параметрами.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Fizmat.by

2. Fizmat.by

Проверьте себя

1. Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, №193,194  ст.289;

2. Решить систему методом введения новых переменных:
   a) ; б) ;
   в) ; г) ;

3. Решить систему методом введения новых переменных:
   а) ; б) ; в) .