14. Системы уравнений. Основные сведения и примеры

Основные сведения о системах уравнений и их решении

Рассмотрим системы двух уравнений с двумя неизвестными (1) и трех уравнений с тремя неизвестными (2).

Здесь р и q – некоторые выражения, зависящие от х и у.

Здесь р, q и r – некоторые выражения, зависящие от х, у и z.

Частным решением системы 1 называется пара чисел такая, при подстановке которой в уравнения системы получим верные равенства.

Частным решением системы 2 называется тройка чисел такая, при подстановке которой в уравнения системы получим верные равенства.

Решить систему уравнений – означает найти множество всех ее решений.

Чтобы найти множество всех решений системы, лучше всего пользоваться эквивалентными или равносильными преобразованиями, то есть такими, которые не искажают множество решений.

Таким образом, процесс решения системы сводится к постепенному переходу от заданной сложной системы к все более простой и так до тех пор, пока не получим ответ.

После получения ответа можно выполнить проверку, подставив найденные решения в исходную систему, но если при решении были применены только равносильные преобразования, то проверку выполнять принципиально не обязательно.

Методы решения систем с помощью эквивалентных преобразований:

• метод подстановки;           

• метод алгебраического сложения;

• метод введения новых переменных;

Не всегда удается сохранить равносильность преобразований, в таких случаях приходится прибегать к переходу к следствию. Пусть мы упростили исходную систему (система вида 1) и получили некоторую новую. Если в исходной системе было два решения – две пары чисел х и у, то в новой системе эти решения сохранятся, но добавятся новые – посторонние решения. В таких случаях необходимо выполнить проверку, найти и отбросить посторонние решения и только после этого выписать ответ.

Обратим внимание, что при решении систем недопустима потеря решений. Одной из важных причин таких потерь является сужение ОДЗ при упрощении системы. То есть, например,  в исходной системе вида 1 было два решения, а в результате получена система, имеющая единственное решение. Поэтому важно во время преобразований следить за областью допустимых значений.

Примеры решения систем уравнений

Пример 1 – решить систему:

В первом уравнении выразим у через х, второе уравнение без изменений:

Подставляем полученное выражение во второе уравнение:

Подставляем найденное значение х в первое уравнение и находим у:

Поскольку при решении мы пользовались эквивалентными преобразованиями, проверку выполнять не нужно.

Ответ:

Пример 2 – решить систему:

Данную систему можно решать различными способами, мы перейдем к следствию – воспользуемся свойствами логарифма:

Получили простую систему с двумя неизвестными, решаем ее:

Поскольку не всегда при решении системы применялись равносильные преобразования, обязательна проверка. Второе решение не удовлетворяет ОДЗ, его следует отбросить.

Ответ:

Потеря корней при решении систем

Рассмотрим некоторые формулы и их особенности, которые приводят к потере решений.

Когда n – натуральное число, левое выражение справедливо при любом значении х, кроме нуля, а правое справедливо уже только при положительных х, произошло сужение ОДЗ. Для сохранения равносильности необходимо использовать модуль:

Проанализируем ОДЗ. Для левой части:

Для правой части:

Сужение ОДЗ в данном случае продемонстрировано на рисунке 1:

Чтобы избежать данной ситуации, поставим модуль, при этом произойдет расширение ОДЗ, что не так страшно:

Теперь в правой части и х, и у могут быть любым числом.

Итак, мы рассмотрели основные сведения о системах уравнений с двумя переменными и х решении, далее рассмотрим метод подстановки как метод решения систем уравнений.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Xenoid.ru

2. Внеклассный урок

Проверьте себя

1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 180-183 ст. 287-288;

2. Решить систему:
   a) ; б) ; в) ; г) ;

3. Решить систему:
   a) ; б) ;

   в) ; г) .