07. Сравнение бесконечных. Ряды. Профильный уровень

Непрерывность функции и предел

Мы продолжаем разговор про пределы. На прошлом уроке мы изучали связь между пределом и непрерывностью функции в точке.

Вспомним определение.

Функция называется непрерывной в точке, если предел функции в этой точке совпадает с её значением (см. рис. 1).

Этот факт мы использовали для изучения непрерывности. Но равенство предела и значения функции можно развернуть в обратную сторону.

Так как основные изучаемые нами функции почти во всех точках непрерывны, то их предел в точках непрерывности находится как значение функции.

Пример:

Вычислим следующий предел.

Дробно-рациональная функция имеет разрывы только в тех точках, где её знаменатель обращается в ноль. В точке  знаменатель нулю не равен, следовательно, функция непрерывна и предел равен значению функции.

Подставляем вместо  число :

При этом в точке разрыва найти предел для нас тоже не составляет труда. Единственный нюанс в том, что пределы слева и справа могут отличаться, и считать их нужно по отдельности. Посчитаем предел при , стремящемся к  слева.

Мы снова подставляем значение аргумента в функцию:

В числителе всё понятно, а в знаменателе — нуль. Сейчас мы должны вспомнить, что не в точности равен 1, а стремится к  слева. То есть  — это число, очень близкое к единице, но чуть меньше единицы. Тогда разностью будет отрицательное, близкое к нулю число. Его можно назвать «отрицательным нулём».

Скобки говорят о том, что это не точный ноль, а величина, очень близкая к нулю, причём отрицательная.

Если положительное число  разделить на очень маленькое по модулю отрицательное число, мы получим что-то огромное по модулю, но тоже отрицательное. Например, если делим на минус одну миллиардную, то дробь будет равна минус девяти миллиардам:

Но знаменатель не останавливается на таком значении, а приближается к нулю всё ближе и ближе. Тогда дробь устремляется в минус бесконечность, что мы и записываем.

Аналогично находим правый предел:

Эту ситуацию мы иллюстрировали, когда изучали вертикальные асимптоты (см. рис. 2).

В данном случае эти два предела показывают нам поведение функции слева и справа от точки , вблизи асимптоты .

Получается, что если знаменатель такой функции стремится к нулю, мы всегда можем говорить о том, что функция стремится к плюс или минус бесконечности? Нет, не всегда. Мы не рассмотрели случай, когда числитель и знаменатель стремятся к нулю оба. То есть если мы хотим найти предел  и при этом обе функции  и  сами стремятся к нулю, то, подставив вместо , мы получим:

Такая ситуация называется неопределённостью. Далее рассмотрим, как с ними нужно поступать.

Сравнение бесконечно малых

Для удобства введём следующий термин. Если , то функция называется бесконечно малой в точке .

Понятно, что в других точках она не обязана быть бесконечно малой.

Например (см. рис. 3),

— это бесконечно малая в точке ,

— бесконечно малая в точке ,

— бесконечно малая на минус бесконечности.

Таким образом, «бесконечно малая» и «стремится к нулю» — это синонимы.

Почему же тогда важны именно они, а не функции, стремящиеся, например, к 5? Если одна функция стремится к 5, а другая к 6, то их отношение стремится к , и никакой интриги.

А вот функции  и  в точке  обе стремятся к нулю. Но отношение  в точке 0 стремится к плюс-минус бесконечности (вспомним, что график — гипербола), а отношение  в точке  уже стремится к нулю.

То есть если обе функции бесконечно малы (обе стремятся к нулю), то к чему стремится их отношение — это ещё вопрос.

Тут надо выяснить, какая из этих бесконечно малых меньше, а какая больше (названия, конечно, условные, но понятно, о чём идёт речь). Получается, нам нужно заняться сравнением бесконечно малых величин.

Часто бесконечно малые функции записывают греческими буквами.

Понятно, что они бесконечно малы только в одной точке, но подразумевается, что весь разговор и ведётся вокруг этой точки.

Итак, пусть  и — две бесконечно малые функции в точке .

Если , то называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем .

Более высокий порядок малости означает, что эта величина быстрее стремится к нулю.

Сравним три бесконечно малых величины в точке  (см. рис. 4):

.

Так как корень существует только справа от нуля, то все три функции рассмотрим только для неотрицательных  (то есть будем говорить о пределе от  справа).

Мы видим, что при приближении  к нулю все три функции тоже стремятся к нулю.

Но какая разница в этом приближении!

Раньше всех к нулю приблизился : начиная с некоторого момента нам не отличить его график от оси  (а ось  — это то место, где  равен нулю).

Мы видим, что скорость приближения к нулю у бесконечно малой  намного меньше.

Если при  , то при , то есть значение функции  в точке в два раза меньше значения функции  в этой же точке (см. рис. 5), а в  — уже в  раз меньше. В такой ситуации и говорят, что  более высокого порядка малости, чем .

Ещё медленнее к нулю приближается : он прямо «прилипает» к оси , не хочет уходить в ноль.

Таким образом, из трёх бесконечно малых самый низкий порядок малости имеет , а самый высокий — .

Конечно, чтобы разобраться с порядками малости этих бесконечно малых, совершенно не обязательно изображать их графики. Найдём пределы их отношений:

Тот факт, что дробь устремилась к нулю, означает, что числитель стремится к нулю быстрее знаменателя, иными словами, в числителе бесконечно малая более высокого порядка малости.

Достаточно очевидным фактом является то, что произведение двух бесконечно малых даёт новую бесконечно малую более высокого порядка, чем каждый из сомножителей.

В самом деле, пусть  и — две бесконечно малых величины в точке .

Понятно, что величина  — тоже бесконечно малая. Чтобы убедиться, что её порядок выше, чем у , найдём предел их отношения:

Как частный случай, любая натуральная степень  бесконечно малой  — это бесконечно малая более высокого порядка малости. Сославшись на этот факт, можно было сразу ответить на вопрос о порядке трёх бесконечно малых.

Интереснее вопрос о сумме бесконечно малых. Понятно, что сумма бесконечно малых тоже бесконечно мала, но какой порядок малости она получает? Например, если сложить  и , какой порядок малости мы получим? А если  и , то какой порядок малости у величины ? Для ответа на эти вопросы дополним определения.

Две бесконечно малые  и  называются бесконечно малыми одного порядка малости, если предел их отношения — это число, отличное от нуля.

Например,

Величины  и  одного порядка малости.

В частном случае предел равен единице:

Тогда бесконечно малые называются эквивалентными.

Ответим сразу на вопрос: что можно сказать про бесконечно малые, если их отношение равно бесконечности?

Пусть

Найдём предел обратной величины:

Если единицу поделить на величину, стремящуюся к бесконечности, то мы получим в пределе ноль. Таким образом, если отношение двух бесконечно малых даёт в пределе бесконечность, это означает, что более высокий порядок малости у величины в знаменателе. Она определила в итоге, куда устремилась вся дробь.

Вернёмся к вопросу про суммы бесконечно малых. Если мы складываем две бесконечно малые одного порядка малости, то получим бесконечно малую такого же порядка. Это очень простое рассуждение, проведите его самостоятельно.

Сложим теперь две бесконечно малые разных порядков. Для примера пусть это будут  и . «Сложим» два графика вблизи нуля (см. рис. 6).

В точке 1 вклад одинаковый, по единице; значение суммы 2.

В точке  вклад —, а — только .

В точке  вклад —, а — только  (в 10 раз меньше).

Таким образом, график суммы около самого нуля будет в основном определяться графиком функции , а вклад  практически потеряется.

Сумма будет стремиться к нулю так же, как , то есть иметь порядок малости как , а не .

Можно ли разобраться с этими порядками малости, не прибегая к графикам? Конечно — по определению.

Пусть  более высокого порядка малости, чем . Какой порядок малости у величины ?

Рассмотрим предел

Предел первой дроби равен нулю, так как в числителе величина более высокого порядка малости, а вторая дробь в точности равна 1.

Таким образом, сумма двух бесконечно малых различных порядков не просто имеет меньший из двух порядков, но эквивалентна величине меньшего порядка малости.

Если поставить на весы двух карликов: карликового бегемота и карликового пуделя, то вес будет практически неотличим от карлика меньшего порядка карликовости, то есть всё определит бегемот.

Вывод

В очень многих ситуациях при суммировании бесконечно малых можно «выкинуть» все слагаемые высоких порядков малости и оставить только слагаемые самого низкого порядка.

Пример:

Найдите предел.

В числителе сумма трёх бесконечно малых, более высокие порядки ничего не решают, их можно «выбросить», оставить только карликового бегемота —. Аналогично в знаменателе избавляемся от высокого порядка малости и оставляем только .

Этот же результат можно было получить и по-другому: поделить числитель и знаменатель на , тогда числитель бы стремился к , а знаменатель по-прежнему к .

Часто бесконечно малая спрятана внутри достаточно громоздкого выражения. Рассмотрим следующий предел.

Пример:

Вычисление пределов всегда начинается с того, что мы пытаемся подставить в выражение величину, к которой стремится , и воспользоваться равенством предела значению функции, если та непрерывна. Подставляем:

Получили неопределённость вида «ноль делить на ноль», ну а иначе было бы слишком просто.

Вспомним, что теорема Безу утверждает, что раз оба многочлена обращаются в ноль при , то есть — это корень этих многочленов, то можно в обоих случаях выделить множитель.

Знаменатель представляет собой биквадратный трёхчлен, значит, мы можем воспользоваться теоремой Виета:

Произведение корней равно , а сумма равна . Это  и . Значит, по формуле  имеем разложение:

Первый множитель является неприводимым, а второй раскладывается как разность квадратов:

Если в числителе не хочется возиться с группировками, но при этом мы точно знаем корень, то поделим уголком многочлен на соответствующий двучлен (см. рис. 7).

Это значит, что . В итоге получаем предел дробно-рациональной функции, где числитель и знаменатель разложены на множители:

Сокращаем на тот член, который давал ноль в обоих выражениях, и снова подставляем  вместо :

Бесконечно малой величина может быть не только в какой-то конечной точке, но и на бесконечности:

Самостоятельно ответьте на вопрос: какая из этих бесконечно малых величин при , стремящемся к бесконечности, имеет наименьший порядок малости, а какая — наибольший?

Сравнение бесконечно больших величин

Если функцию, которая стремится к нулю, называют бесконечно малой, то логично, что стремящуюся к бесконечности функцию назвали бесконечно большой.

Бесконечно большие величины и логика их сравнения зеркально повторяют всё изложенное про бесконечно малые. Определения и методы повторяют друг друга почти дословно. В связи с этим мы разберём данную тему не так подробно, как предыдущую.

Определение:

Если  или , то  называют бесконечно большой величиной в точке  или на бесконечности соответственно.

Пусть  и — бесконечно большие величины или просто бесконечности. Если , то  называется бесконечностью более высокого порядка, чем .

Это же условие можно записать наоборот:

Если , то  и  называются бесконечностями одного порядка.

В частном случае, если , бесконечности называются эквивалентными.

Везде под стремлением  можно понимать и стремление .

Легко видеть, что если , то — бесконечность более высокого порядка, чем сам  (см. рис. 8).

Как и с бесконечно малыми, в сумме бесконечно больших величин всё решают те, что больше. Только для бесконечно малых это были бесконечно малые меньшего порядка, а для бесконечно больших — большего порядка.

Пусть  и — бесконечно большие величины.

, то есть  имеет более высокий порядок.

Рассмотрим предел: , теряется на фоне  и сумма  эквивалентна . Сумма масс синего кита и Солнца неотличима от массы последнего. Бо́льшая бесконечность поглощает меньшую.

Пример:

Вычислим предел уже знакомого нам выражения, но устремим теперь  к бесконечности:

И числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности, то есть у нас неопределённость вида. В каждой сумме выбираем бесконечность наибольшего порядка, а остальные члены «выбрасываем», как несущественные:

Имея опыт вычисления пределов, такие примеры можно решать мгновенно.

В числителе бесконечность 3-го порядка, а в знаменателе — 4-го, значит, ответ — ноль, нижняя бесконечность победила.

Существуют ещё несколько видов неопределённостей, решение которых доставляет большое удовольствие. Это пределы вида ,,. Решением такого рода пределов вы займётесь на любом математическом или техническом факультете университета. А мы во второй части урока рассмотрим ещё одно очень важное применение теории пределов.

Ряды

Одним из важнейших инструментов математики является числовой ряд. Ряд — это сумма бесконечного числа слагаемых. Записывается он с помощью знака суммы, который, конечно, можно использовать и для конечных сумм:

Может ли сумма бесконечного числа слагаемых быть конечным числом? Простейшее рассуждение помогает ответить на этот вопрос. В силу бесконечной делимости чисел, мы можем любое число разбить на бесконечное число слагаемых. Но тогда из них можно составить назад это число.

Любое действительное число можно представить как сумму соответствующего бесконечного ряда.

В этой записи бесконечное количество положительных слагаемых, но сумма их равна конкретному конечному числу.

Рассмотрим пример, с которым мы уже сталкивались раньше.

Возьмём единицу, а для наглядности даже единичный отрезок (см. рис. 9). Разделим его пополам. Второй отрезок разделим пополам. Последний разделим пополам. Продолжим процесс до бесконечности. Единичный отрезок равен сумме отрезков убывающей длины:

Не сложно видеть, что на месте с номером n находится слагаемое . То есть полученный ряд мы можем записать с помощью знака суммы, где  пробегает все значения от  до .

Наверное, вы вспомнили, что это за ряд. Конечно, это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии равен:

Знаменатель (то число, на которое мы умножаем член прогрессии, чтобы получить следующий) тоже равен:

Формула суммы такой прогрессии имеет вид:

Чуть позже мы обоснуем её. Подставим оба значения:

Мы подтвердили, что сумма ряда равна 1.

Мы уже чувствуем, что когда говорим о бесконечной сумме, то речь идёт о некоем пределе. Дадим чёткое определение суммы бесконечного ряда, или просто — ряда.

Определение:

Если ряд оборвать на каком-то члене, то полученная сумма называется частичной суммой.

Каждая частичная сумма является конечной, поэтому она равна какому-то конечному числу.

Таким образом, мы получаем последовательность частичных сумм ряда.

Определение:

Если эта сумма стремится к какому-то числу , то есть имеет предел, то он и называется суммой ряда.

Сам ряд при этом называется сходящимся.

Пример (продолжение):

В нашем примере с геометрической прогрессией последовательность частичных сумм выглядела следующим образом:

Предел такой последовательности равен 1.

Давайте выведем, как и договаривались, формулу суммы такого ряда.

Формула суммы ряда

Итак, пусть есть ряд:

Где

Каждая частичная сумма вычисляется по формуле конечной суммы членов геометрической прогрессии:

Повторить вывод этой формулы вы можете, посмотрев урок Свойства прогрессий. Решение задач:

Предел этого выражения при  вычисляется очевидным образом. Так как , то :

Теперь возникает вопрос. А всегда ли существует сумма ряда, то есть всегда ли ряд сходится? Ответ очевиден — нет.

Если геометрическая прогрессия имеет знаменатель больше единицы, то ни о какой сходимости речь не идёт. Сумма ряда очень быстро уходит в бесконечность.

Можно взять не так быстро растущий ряд. Сумма бесконечного числа единиц тоже бесконечна.

Вопрос о том, какие ряды имеют конечную сумму, а какие нет (то есть какие сходятся, а какие расходятся), приводит нас к признакам сходимости ряда. Кое-что мы уже с вами увидели.

Ряды  и  не могут сходиться, потому что члены ряда не стремятся к нулю, а значит, каждая последующая частичная сумма существенно отличается от предыдущей.

Таким образом, можно сформулировать необходимый признак сходимости числового ряда.

Ряд  может сходиться, только если общий член .

Этот признак не работает как достаточный, то есть из стремления  ещё не следует, что ряд  сходится. Вот очень просто выглядящий ряд:

Он называется гармоническим. Не путайте его с суммой геометрической прогрессии. Члены этого ряда удовлетворяют необходимому признаку сходимости — общий член стремится к нулю. Но стремится очень медленно, и в результате сумма уходит в бесконечность, ряд является расходящимся.

Чтобы быть уверенным, что ряд сходится, нужно использовать какие-то достаточные признаки сходимости. Мы рассмотрим два таких признака.

Если знаки ряда чередуются, то такой ряд называется знакочередующимся.

Признак Лейбница утверждает, что если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю и стремятся к нулю, то ряд сходится.

Если взять гармонический ряд (который, как мы помним, расходится) и сделать его знакочередующимся: , то он будет отвечать условиям признака Лейбница, а значит, сходиться.

Более того, известно, чему равна эта сумма:

Представление различных величин в виде суммы ряда позволяет вычислять их с необходимой точностью.

Например, если мы возьмём в нашем ряду  первых члена и отбросим все остальные, то погрешность не превзойдёт первого отброшенного члена, то есть .

Понятно, что данный ряд не очень удобен для получения высокой точности — чтобы получить погрешность , нужно взять  членов ряда.

Но есть ряды, которые сходятся намного быстрее, то есть частичные суммы намного быстрее приближаются к сумме ряда.

Мы знаем, что любая частичная сумма — конечное число. Следовательно, если её выкинуть из сходящегося ряда, то сумма ряда изменится на эту величину, то есть тоже будет конечной, а значит, ряд останется сходящимся.

Если же ряд расходящийся, то, выкинув из него конечную сумму, мы не можем превратить его в сходящийся. Если бы такое случилось, мы бы к полученному сходящемуся ряду вернули эту сумму и получили бы снова сходящийся ряд, но ведь он был расходящимся изначально — противоречие.

Таким образом, сходимость ряда не зависит от начального поведения ряда. Можно выкинуть любое конечное количество членов ряда, и сходимость не изменится. На само значение суммы это, конечно, повлияет.

Признак сравнения

Очень удобным методом выяснения сходимости или расходимости ряда является следующее очевидное рассуждение. Рассмотрим два знакоположительных ряда ():

Причём для любого номера  верно, что . То есть, грубо говоря, первый ряд меньше второго. Тогда, если сходится больший ряд , то сходится и меньший . И наоборот: если расходится меньший ряд , то расходится больший . Это утверждение называется признаком сравнения.

Пример:

Выясним сходимость ряда:

Сравним его с гармоническим рядом . Если вспомнить, как выглядят графики функций  и  (см. рис. 10), то становится очевидно, что все . А тогда .

То есть гармонический ряд меньше. Но гармонический ряд расходится, значит, расходится и рассматриваемый ряд.

Ещё крайне удобным признаком является использование замены ряда на эквивалентный.

Мы уже знаем, что для сходимости необходимо, чтобы общий член ряда стремился к нулю, то есть был бесконечно малой величиной. Если это не так, то и вопросов нет — ряд расходится.

Пусть теперь всё же необходимый признак выполняется, общий член — бесконечно малая. Наш признак утверждает, что если общий член заменить на бесконечно малую того же порядка, в частности на эквивалентную, то сходимость не изменится.

Пример:

Исследуем на сходимость ряд:

В числителе бесконечно большая 1-го порядка (корень из квадрата), а в знаменателе — 2-го.

Мы уже знаем, что такая дробь стремится к нулю, то есть необходимый признак сходимости выполняется. Но мы помним — для сходимости этого недостаточно.

Упростим общий член, заменив его на эквивалентную величину. Для этого «выбросим» несущественные члены:

Таким образом, вместо исходного ряда мы можем рассмотреть более простой:

Но это снова гармонический расходящийся ряд. Следовательно, расходится и исходный ряд.

Мы с вами затронули лишь самые начала теории рядов. В теории числовых рядов существует большое количество признаков сходимости, методов вычисления сумм и прочих полезных теорем.

Кроме того, ряд можно определить не только для чисел. Если для каких-нибудь других объектов существует понятие сложения и понятие близости, то есть можно ввести понятие предела, то можно рассматривать ряд из таких объектов. Мощнейшим математическим инструментом являются ряды из функций — их называют функциональными рядами. Числовые ряды можно рассматривать как частный случай функциональных. Векторы — тоже вполне подходящий объект для записи рядов из них.

Всё это некоторым из вас предстоит узнать в университете. А мы с вами заканчиваем урок.

Список литературы

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник для учащихся общеобразоват. организаций (углублённый уровень) / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. — 18-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2014. — 352 с.: ил.

Домашнее задание

№ 1. Сравните бесконечно малые:

№ 2. Сравните бесконечно большие при :

№ 3. Исследуйте на сходимость ряд:

Список использованных источников:

1. Рис. 1–10. Моушн-дизайнер Лопатин М. С.