08. Средние. Неравенства между средними. Профильный уровень

Средние значения

С понятием среднего нескольких чисел нам приходится часто сталкиваться: средняя заработная плата человека за год, среднегодовая температура в нашем городе, средний балл для поступления на данную специальность.

Обычно под средним люди понимают среднее арифметическое, что интуитивно оправдано. В самом деле, каково среднее чисел  и ? Очевидно, что пять. Пять ровно посредине между этими числами.

Среднее арифметическое вычисляется как сумма всех рассматриваемых чисел, делённая на их количество. Оно очень просто вычисляется и кажется вполне достаточным для описания интуитивного среднего.

Но есть ситуации, когда среднее арифметическое неудовлетворительно описывает среднее состояние, усреднённый показатель.

Пример:

Предположим, цена акции выросла в первый год на 10 %, а во второй — на 90 %. Каков средний рост стоимости акции?

Если вычислить среднее арифметическое: то есть получим 50 %. Это приведёт к ошибке.

Давайте предположим, что акция стоила 1000 рублей. Рост на 10 и 90 процентов означает умножение на 1,1 и 1,9:

Получаем 2090.

Если средний рост был 50 %, то мы два раза должны умножить на 1,5 и получить ту же самую стоимость.

Как видим, результаты получились разные. То есть акция не росла в среднем на 50 % в год.

На какое же число надо умножить стоимость акции два раза, чтобы получить тот же результат, что и в начале? На .

Полученный результат  соответствует среднему росту стоимости акции на 44,6 %.

Если вы думаете, что между 50 % и 44,6 % разница невелика, то ошибаетесь. Даже десятые доли процента в финансовом и банковском деле очень сильно влияют на результаты.

Квадратный корень из произведения двух чисел называется их средним геометрическим.

Это связано с формулой для высоты в прямоугольном треугольнике: она равна среднему геометрическому проекций катетов.

В общем виде для чисел формула записывается так:

Среднее геометрическее  чисел равно корню -ной степени из произведения всех этих чисел.

Как мы видим, в нашем примере среднее геометрическое оказалось меньше среднего арифметического.

Всегда ли так происходит? На этот вопрос мы сегодня ответим.

Среднее значение, особенно для небольших выборок, может быть очень чувствительно к экстремальным значениям.

Пример:

Так, если 9 человек получают по 100 рублей, а один — 1000, то среднее арифметическое в данной ситуации равно 190 рублям, что почти в два раза больше, чем зарплата подавляющего числа людей.

Чтобы получить более полную картину, используют ещё один показатель — медиану выборки.

Если вернуться к примеру с зарплатами, то медианная — это такая зарплата, что меньше неё и больше неё получает одинаковое количество людей.

Понятно, что медианная зарплата, по крайней мере в современном мире, всегда будет меньше средней (так как зарплаты низкоквалифицированных сотрудников гораздо ниже, а самих таких работников, соответственно, больше).

По отдельности ни один из показателей не может в полной мере характеризовать выборку, но их комплекс позволяет делать определённые выводы.

Ещё с одной средней вы уже сталкивались на уроке по теории вероятностей — это среднее квадратичное. Вспомните, мы обсуждали, что меткость стрелка определяется кучностью его выстрелов по мишени. Для оценки этого параметра удобно использовать дисперсию или квадратный корень из неё, то есть среднее квадратичное отклонение.

— дисперсия;

— среднее квадратичное отклонение.

Оно определяется как квадратный корень из среднего арифметического квадратов величин.

— среднее квадратичное.

Среднее квадратичное удобно применять, когда нам нужно усреднить абсолютные значения, без учёта знаков чисел. Например, при стрельбе по мишени один выстрел в самый верх и один выстрел в самый низ не эквивалентны двум выстрелам в яблочко.

Вот в такой простой задаче ученики часто совершают ошибку.

Задача:

Первую половину пути автомобиль двигался со скоростью 50 км/ч, а вторую — 100 км/ч. Какова средняя скорость движения? Понятно, что хочется сказать  и закрыть вопрос.

Давайте вспомним, что такое средняя скорость. Это весь путь, делённый на затраченное на его прохождение время.

Представим, что автомобиль проехал 200 км.

Тогда первые 100 км он проехал за 2 часа.

А вторые 100 км — за 1 час. Получается, что он проехал 200 км за 3 часа.

То есть его средняя скорость должна быть около 67 км/ч.

Давайте проверим, какой результат получится в общем виде (нам ведь не сказано, что путь составляет 200 км). Пусть весь путь . Тогда время на прохождение первого участка , второго — . Всё время равно:

Средняя скорость равна:

Ответ: 66,7 км/ч.

Если участков несколько, то рассуждения будут аналогичными и средняя скорость будет вычисляться так же.

Называется эта величина средним гармоническим и определяется следующим образом:  разделить на среднюю равно сумме обратных величин.

Если выразить эту среднюю в общем виде, то можно сказать так: среднее гармоническое  чисел равно обратной величине среднего арифметического обратных величин.

Перечень различных средних на этом не заканчивается, но мы остановимся на рассмотренных. Интересная и полезная для практики задача — сравнить средние друг с другом. Всегда ли одна средняя больше другой, могут ли они быть равны? Этот вопрос тесно связан с именами великих математиков XIX века — французского учёного Огюстена Луи Коши и русского академика Виктора Яковлевича Буняковского.

Начнём мы с известного красивого неравенства, которое поможет нам ответить на вопрос о сравнении средних.

Неравенство Коши — Буняковского

Чтобы вычислить работу силы, направленную под углом к перемещению, применяют такой инструмент, как скалярное произведение векторов.

Вспомним, что это означает для векторов на плоскости. Пусть даны два двумерных вектора  и . Скалярное произведение этих векторов имеет алгебраическую интерпретацию (сумма попарных произведений их координат) и геометрическую (произведение длин векторов на косинус угла между ними).

Длины векторов тоже расписываются как квадратные корни из суммы квадратов координат векторов:

Избавимся от корней, возведя обе части в квадрат.

Так как квадрат косинуса не превосходит единицы, то, убрав косинус, мы приходим уже к неравенству.

Это неравенство означает, что квадрат скалярного произведения двумерных векторов не превосходит произведения их квадратов. Аналогичное рассуждение мы можем провести и для трёхмерных векторов. Получим ровно такое же неравенство, только для трёх координат:

Если вектор имеет  координат, то есть дело происходит в -мерном пространстве, то провести такое же рассуждение нам затруднительно, так как мы не можем представить, как выглядят два -мерных вектора и что такое угол между ними. Тем не менее само неравенство для -мерного случая вполне понятно:

Называется оно неравенством Коши — Буняковского. Докажем его из обычных алгебраических рассуждений.

Доказательство:

Запишем вот такой многочлен:

Так как каждое слагаемое в квадрате, то не вызывает сомнений, что значение этого многочлена при любом  не меньше нуля:

Раскроем скобки и сгруппируем отдельно слагаемые с , с  и без .

Так как, кроме , все остальные буквы означают фиксированные числа, то перед нами обычное квадратное неравенство. При этом мы знаем, что его решением является любое . Это означает (так как старший коэффициент положительный), что квадратный трёхчлен либо не имеет корней, либо имеет единственный корень (см. рис. 6).

Значит, дискриминант нашего трёхчлена меньше нуля или равен ему. Вычислим его.

Осталось разделить неравенство на 4 и перенести одно слагаемое вправо.

Мы получили неравенство Коши — Буняковского.

Для многомерных пространств это неравенство означает ровно то же самое, что для двумерного: квадрат скалярного произведения двух векторов не превосходит произведения скалярных квадратов этих векторов.

Мы понимаем, что на плоскости или в пространстве модуль скалярного произведения двух векторов равен произведению модулей векторов только в том случае, если векторы коллинеарны.

В самом деле, угол между векторами равен  или  , квадрат косинуса равен единице.

Неравенство превращается в равенство.

Но мы знаем, что коллинеарность векторов означает пропорциональность координат векторов.

Опять же, для многомерного случая нам сложно пользоваться геометрической интерпретацией, но принять за коллинеарность многомерных векторов пропорциональность их координат нам совсем не сложно. Тогда легко показать, что неравенство Коши — Буняковского в общем виде превращается в равенство также только в случае коллинеарности векторов, то есть пропорциональности координат.

Заменим в неравенстве Коши — Буняковского знак на «равно».

Исходя из наших предыдущих рассуждений, это означает, что дискриминант равен нулю.

Так как дискриминант равен нулю, то существует единственный корень , при котором наше выражение равно нулю.

Но так как все слагаемые — это квадраты, то это возможно только если все слагаемые равны нулю.

Но тогда  равно отношению ,, …,.

Что и означает пропорциональность координат.

Следствия из неравенства Коши — Буняковского

Вернёмся к неравенству Коши — Буняковского и рассмотрим частный случай.

Пусть . Это записывают часто так:

Подставим эти значения в неравенство Коши — Буняковского:

Получаем, что квадрат суммы всех  меньше или равен сумме квадратов , умноженной на .

Разделим обе части неравенства на :

Мы получили слева квадрат среднего арифметического, а справа — среднее арифметическое квадратов. Извлечём корень из обеих частей неравенства. Так как мы не уверены, что слева под квадратом стояла неотрицательная величина, то надо поставить модуль. Справа величина неотрицательная, так что там всё хорошо.

Модуль любого выражения всегда больше самого выражения или равен ему.

Подумайте почему.

В итоге получаем одно из следствий неравенства Коши — Буняковского.

Среднее арифметическое нескольких чисел всегда не превосходит их среднего квадратичного.

В качестве примера посмотрим на эти средние для двух чисел.

Пример:

Пусть ,. Среднее арифметическое равно:

Для расчёта среднего квадратичного считаем среднее арифметическое квадратов и извлекаем из него корень.

Числа были не равны друг другу. Как и предсказывала теория, среднее арифметическое оказалось строго меньше среднего квадратичного.

На вопрос «А при каких условиях это неравенство превращается в равенство?» ответ прост. Неравенство Коши — Буняковского превращается в равенство, если многомерные векторы  и  коллинеарны, то есть .

При этом все , то есть все . Легко увидеть, что всё превращается в равенство.

Если все числа равны некоторому неотрицательному , то и среднее арифметическое, и среднее квадратичное тоже равно .

Вернёмся к неравенству Коши — Буняковского. Рассмотрим другой частный случай, когда . То есть для . Подставим эти значения в неравенство Коши — Буняковского.

Слева мы получаем сумму единиц в квадрате, то есть .

Обозначим каждое , как .

Развернём неравенство и слева сделаем среднее арифметическое для всех :

Справа при этом получим среднее гармоническое. Можно записывать со степенью –1:

Тут надо вспомнить, что мы обозначили как  квадрат выражения, который ещё и может стоять в знаменателе. Значит, все  строго положительны.

Итак, ещё одним следствием неравенства Коши — Буняковского является следующий факт. Для набора положительных чисел его среднее арифметическое больше среднего гармонического или равно ему.

Пример:

Снова посмотрим на числа  и . Среднее арифметическое равно:

Среднее квадратичное примерно равно:

Вычислим среднее гармоническое:

Умножим числитель и знаменатель на  — это самый быстрый способ разобрать многоэтажную дробь:

Таким образом, для наших чисел  и  среднее арифметическое находится между средним гармоническим и средним квадратичным.

Чтобы понять, когда неравенство превращается в равенство, снова вспомним условие коллинеарности для неравенства Коши — Буняковского.

Так как , то получаем, что каждое  равно , но это и есть .

То есть равенство средних достигается только в том случае, если все числа равны друг другу.

Неравенство Коши

Итак, мы сравнили среднее арифметическое чисел со средним квадратичным и средним гармоническим.

Перейдём теперь к сравнению с уже известным нам средним геометрическим.

То есть сравним две величины: сумму всех чисел, делённую на , и корень -ной степени из произведения всех чисел. Чтобы не было проблем с извлечением корня, будем считать, что все  неотрицательны.

Среднее геометрическое совсем не похоже на выражения из неравенства Коши — Буняковского, так что использовать его и здесь уже не получится. Сравнение этих средних займёт больше времени, но тоже будет интересно.

Рассмотрим сначала частный случай с двумя числами ( и ), которые оба неотрицательны. Сравним их среднее арифметическое и среднее геометрическое. Обозначим пока неизвестный знак между ними звёздочкой.

Умножим обе части на 2. Знак неравенства, каким бы он ни был, не изменится.

Перенесём правую часть влево.

Поскольку  и  неотрицательны, то слева можно выделить полный квадрат разности.

Квадрат всегда больше или равен нулю.

Итак, мы нашли, какой знак скрывался под звёздочкой. Таким образом, для двух неотрицательных чисел мы доказали, что среднее арифметическое больше среднего геометрического или равно ему.

Равенство возникает, только если оба числа равны друг другу, к чему мы уже привыкли.

Неотрицательность нужна не только для существования . Если оба числа будут отрицательны, то этот корень существует (). Но среднее арифметическое тогда тоже будет отрицательным, то есть данное утверждение становится просто неверным.

Пример:

Вычислим среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел: ,.

Числа разные, среднее арифметическое больше среднего геометрического.

Тот факт, что среднее арифметическое двух чисел больше среднего геометрического или равно ему, используем как гипотезу для общего случая. Будем доказывать, что такое же неравенство выполняется для произвольного количества чисел.

Данное неравенство в самом деле верно, и известно оно как неравенство Коши.

Для трёх чисел таких простых рассуждений, как для двух, провести не получится, зато случай четырёх чисел легко сводится к случаю двух.

Рассмотрим среднее арифметическое четырёх чисел. Его легко представить в виде суммы двух средних арифметических, делённой на два. Но для каждого из двух средних арифметических в числителе можно применить уже доказанное неравенство для двух чисел. То есть заменяем средние арифметические на средние геометрические и ставим знак неравенства.

Мы снова получили среднее арифметическое двух величин. Снова применяем неравенство для двух чисел.

Упрощая правую часть, получаем то, что хотели: корень четвёртой степени из произведения четырёх чисел, то есть среднее геометрическое.

Легко видеть, что такой приём можно применить и дальше. То есть доказать неравенство для ,, и так далее чисел. Давайте запишем это формально.

Пусть верно неравенство для  чисел.

Рассмотрим среднее арифметическое для  чисел. Разобьём сумму длиной  на две длиной  каждая. Получим в числителе два средних арифметических длиной .

Применим для них неравенство для  чисел. Получили среднее арифметическое двух величин.

Применим неравенство для двух чисел.

Получили в конце цепочки среднее геометрическое длиной .

Таким образом, методом математической индукции мы доказали, что если у нас чисел , то есть ,,,, и так далее, то для них среднее арифметическое больше среднего геометрического или равно ему. Этой же индукцией доказывается, что равенство достигается только при равенстве всех чисел между собой.

В самом деле, для двух чисел это верно. Пусть это верно для  чисел. Пойдём по нашей цепочке в обратную сторону. Если первое неравенство превращается в равенство, то это означает, что корни  и  равны друг другу.

Если второе неравенство превращается в равенство, то это означает, что все числа внутри корня равны друг другу.

Таким образом, все числа равны.

Мы доказали неравенство Коши для случая, когда  равно степени двойки. Докажем для остальных чисел.

Докажем сначала неравенство Коши для трёх чисел. При этом нам уже известно, что неравенство Коши верно для четырёх чисел. Воспользуемся этим.

Рассмотрим частный случай неравенства Коши для четырёх чисел, где  — среднее геометрическое первых трёх чисел: . Делаем подстановку.

Справа под корнем  — это , то есть под корнем итого , и вся правая часть превращается в , то есть в .

Умножаем обе части на 4, переносим корень из левой части в правую, делим на три.

Получили неравенство Коши для трёх чисел.

Итак, мы, имея неравенство Коши для четырёх чисел, доказали его для трёх. Если этот метод применить в общем виде, то мы докажем неравенство Коши для произвольного количества чисел. Ход доказательства вы можете посмотреть в ответвлении.

Доказательство неравенства Коши для произвольного n

Пусть неравенство Коши верно для  слагаемых. Покажем, что оно верно и для количества слагаемых .

В неравенство для  чисел подставим в качестве  среднее геометрическое  предыдущих чисел.

Справа под корнем получаем , то есть вся правая часть превращается в , то есть в среднее геометрическое первых  чисел.

Умножаем обе части на , переносим корень вправо и получаем неравенство Коши для  числа слагаемых.

Последний шаг. Для любого  можно найти степень двойки, большую или равную , а для степеней двойки неравенство Коши верно. Таким образом, двойной индукцией мы доказали неравенство Коши для любого .

Превращение неравенства в равенство опять-таки происходит только при равенстве всех чисел. Докажите этот факт самостоятельно в качестве тренировки.

На данный момент мы знаем три неравенства для средних. Среднее арифметическое не превосходит среднего квадратичного, но больше двух других средних (среднего гармонического и среднего геометрического) или равно им.

Осталось неясным, можно ли сравнить в общем виде среднее гармоническое и среднее геометрическое. Оказывается, это легко сделать при рассмотрении частного случая неравенства Коши, подставив в него обратные величины.

Итак, для любых положительных чисел выполняется неравенство Коши. Пусть . Подставим эти значения в неравенство.

Перевернём обе части неравенства, поменяв знак неравенства на противоположный. Мы можем так сделать, поскольку обе части положительные.

Получили, что среднее геометрическое не меньше среднего гармонического.

Теперь все неравенства о средних для положительных чисел мы можем выписать в одну цепочку.

,

Итак, наименьшее — среднее гармоническое, далее — среднее геометрическое, потом — среднее арифметическое и самое большое — среднее квадратичное.

Пример:

Запишем все эти средние для двух чисел:  и . Мы их уже считали.

Среднее гармоническое — наименьшее из всех средних, далее идёт среднее геометрическое, далее — среднее арифметическое и наибольшее из них — среднее квадратичное.

На этом мы заканчиваем урок.

Список литературы

1. Гомонов, С. А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10–11 кл.: учебное пособие / С. А. Гомонов. — М.: Дрофа, 2006. — 254 с.

Полезные ссылки

1. Средние значения.

2. Неравенства между средними значениями.

Проверь себя

1. Докажите, что неравенство Коши для  чисел обращается в равенство в том и только в том случае, когда все числа равны друг другу.

2. Вычислите для чисел , и  среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее квадратичное и среднее гармоническое. Сравните средние между собой и соотнесите результат вычислений с теоретическим результатом.

3. Используя материалы урока и дополнительные ресурсы, в том числе интернет, подготовьте презентацию по теме на выбор: «Применение различных средних величин в практической деятельности» или «Значение неравенства Коши — Буняковского в математической теории».

Список использованных источников:

Рис. 1, 2, 5–7. Дизайнер Полякова О.

Рис. 3. Источник: commons.wikimedia.org / название: Cauchy Augustin Louis dibner coll SIL14-C2-03a / атрибуция: public domain, автор: Katpatuka

Рис. 4. Источник: commons.wikimedia.org / название: Буняковский / атрибуция: public domain, автор: Materialscientist