14. Степенные функции, их свойства и графики: начальные сведения

Основные определения

Напомним основное определение.

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем  называется число .

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем  называется число ..

Для , ,  выполняется равенство:

, ;

, .

Например: ; .

Определение

Функция с рациональным показателем – это функция вида , где , , , . Основание степени – аргумент данной функции, независимая переменная; – сама функция, зависимая переменная.  – показатель степени, фиксированное рациональное число.

Например: , ,  и т. д.

Функции с натуральным показателем

Вспомним частные случаи, например, когда показатель степени – натуральное число.

;

: (рис. 1)

Показатель степени – четное натуральное число, : (рис. 2)

Данное семейство кривых проходит через три фиксированные точки: , , .

Основное свойство этих функций – четность, их графики симметричны относительно оси .

Показатель степени – четное натуральное число, : (рис. 3)

Данное семейство кривых проходит через три фиксированные точки: , , ;

Основное свойство этих функций – нечетность, их графики симметричны относительно начала координат.

Функции с целым отрицательным показателем

Рассмотрим случаи, когда показатель степени – целое отрицательное число.

, ;

При : (рис. 4)

График данной функции проходит через две фиксированные точки: , .

При четных , : (рис. 5)

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: , . Особенность функций данного вида – их четность, графики симметричны относительно оси .

При нечетных , : (рис. 6)

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: , . Особенность функций данного вида – их нечетность, графики симметричны относительно начала координат.

Функция с рациональным положительным показателем, меньшим единицы, ее свойства

Переходим к функциям с рациональным показателям, , рассмотрим случаи, когда показатель степени меньше единицы: .

Например: ; , .

Итак, мы рассматриваем функции , , .

Все кривые данного вида проходят через две фиксированные точки: , .

Рассмотрим основные свойства функции с рациональным показателем, когда он лежит в пределах от нуля до единицы.

, , , , .

Рассмотрим подкоренное выражение:

Данная функция монотонно возрастает на своей области определения.

Рассмотрим следующую функцию:

Данная функция также монотонно возрастает на своей области определения.

Таким образом, изучаемая функция монотонно возрастает.

Область определения рассматриваемой функции: .

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу, максимального значения нет, минимальное достигается при : .

Функция непрерывна, принимает все неотрицательные значения.

Функция выпукла вверх.

На кривой взяты точки и , через них проведен отрезок, вся кривая находится выше отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вверх (рис. 8).

Функция с рациональным положительным показателем, большим единицы, ее свойства

Перейдем к случаям, когда рациональный показатель функции больше единицы.

, , , .

Например: .

, данная функция монотонно возрастает на своей области определения, т. к. оба сомножителя возрастают и положительны.

Чтобы понять, как проходит график данной функции, построим таблицу.

Графики данных функций проходят через две фиксированные точки – , .

Рассмотрим свойства функций , , , .

Область определения: .

Функция возрастает на всей области определения.

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу, максимального значения нет, минимальное достигается при :.

Функция непрерывна, принимает все неотрицательные значения.

Функция выпукла вниз.

На кривой взяты точки и , через них проведен отрезок, вся кривая находится ниже отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вниз (рис. 10).

Рассмотрим пример на свойства степенной функции с рациональным положительным показателем.

Решение примера

Пример 1 – найти множество значений функции:

, .

Поскольку функция, как нам известно, монотонно возрастает, вычислим значения в граничных точках, и интервал значений между ними и будет искомое множество значений.

; .

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели степенную функцию с положительным рациональным показателем. На следующем уроке мы продолжим изучение степенных функций.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Домашнее задание

1. Постройте графики функций: a) ; б) ; в) ; г) .

2. Известно, что . Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Исследуйте функцию на четность: a) ; б) ; в) ; г) .

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).

2. Глав Справ (Источник).

3. Прикладная математика (Источник).