12. Степень с рациональным показателем. Простейшие задачи

Рациональные числа, степень с рациональным показателем

Напомним, что такое множество рациональных чисел.

 – рациональные числа.

Каждая дробь может быть представлена в десятичном виде, например :

Итак, рациональное число может быть представлено как бесконечная десятичная дробь с периодом.

Напомним определение: для , ,  выполняется равенство:

,

,

Например: ; ;  (нужно перевести бесконечную периодическую дробь в обыкновенную).

Свойства степени с рациональным показателем, доказательства

Рассмотрим свойства степени с рациональным показателем, они аналогичны свойствам степени с натуральным показателем, здесь и – рациональные числа:

1. .

Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить без изменений.

2. или , .

Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить без изменений.

3. .

Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.

4. .

При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень.

5. , .

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень.

Вышеперечисленные свойства справедливы для любых рациональных показателей. Докажем первое свойство:

Доказательство: и – рациональные числа, , , и ; и :

 .

Приведем корни к одинаковому показателю:

.

Преобразуем полученное выражение согласно свойствам корня:

.

По определению степени с рациональным показателем:

.

Согласно свойствам степени:

.

Итак, получили:

.

Докажем третье свойство:

Доказательство: и – рациональные числа, , , и ; и .

Схема доказательства стандартная: от степеней перейти к корням, выполнить преобразования с корнями и вернуться к степеням.

Остальные свойства доказываются аналогично.

Решение типовых задач

Перейдем к решению типовых задач.

Пример 1 – имеет ли смысл выражение:

а)

Ответ: нет.

б)

Ответ: да ().

в)

Ответ: да, т. к. -4 – целое число ().

г)

Ответ: нет.

Пример 2 – вычислить:

Рассмотрим слагаемые отдельно:

.

Получаем:

.

Пример 3 – упростить выражение:

Упростим знаменатель:

.

Получаем:

.

Отметим, что обязательно в данном случае .

Пример 4 – упростить выражение:

Возводим в квадрат двучлен:

.

Получили выражение:

.

В данной задаче могут быть поставлены дополнительные вопросы, например, допустимы ли отрицательные значения с. Ответ: нет, т. к. с имеет рациональный показатель степени и по определению является неотрицательным.

Пример 5 – упростить выражение:

,

Комментарий: ограничение на наложено в связи с тем, что он имеет отрицательный рациональный показатель степени.

Итак, мы рассмотрели свойства степеней с рациональным показателем. В дальнейшем мы перейдем к решению более сложных задач со степенями и радикалами.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 432-435.

2. Вычислить:

   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) .
   

3. Упростить выражение:

   а) ;

   б) .