06. Свойства корня n-ой степени. Продолжение

Определение корня n-й степени, арифметический корень

Напомним основное определение.

Определение:

Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.

Приведем математическую запись определения:

Например, , т. к. , т. к.

Неотрицательный корень n-й степени из неотрицательного числа а называют арифметическим корнем.

– арифметический корень;

Напомним геометрический смысл корня n-й степени из неотрицательного числа. Рассмотрим функцию на множестве всех действительных значений (рисунок 1) и только для неотрицательных х (рисунок 2).

С рассматриваемыми функциями, как и с любой другой функцией, связаны две задачи – прямая (по заданному значению х найти у) и обратная (по заданному значению у определить х).

В случае, когда функция рассматривается для всех значений х, уравнение вида имеет два корня: , т. е. функция приобретает любое свое значение при двух противоположных значениях аргумента.

В случае же, когда рассматриваются только неотрицательные значения х, уравнение вида имеет единственный корень: , т. е. функция приобретает любое свое значение при одном значении аргумента, которое называют арифметическим корнем. Свойства этого корня мы и будем изучать.

Теорема о возведении корня в степень, доказательство, примеры

Если неотрицательное число, любое натуральное число, натуральное число, большее единицы, то справедливо равенство:

Другими словами, чтобы возвести корень n-й степени в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Преобразуем полученное выражение по теореме 1:

Теорема доказана.

Докажем данную теорему, пользуясь определением корня.

Если заданное равенство справедливо и правая часть есть корень й степени из , то я степень выражения из правой части равна подкоренному выражению, т. е. . Проверим данное равенство:

Теорема доказана вторым способом.

Рассмотрим несложные примеры на применение теоремы 3.

Пример 1 – вычислить:

Пример 2:

Теорема о корне из корня n-й степени, доказательство, примеры

Если а – неотрицательное число, n и k – натуральные числа, большие единицы, то справедливо равенство:

Другими словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели степеней.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Введем новые переменные:

В новых выражениях нужно доказать, что . Рассмотрим равенство . По определению корня, . Возведем обе части полученного выражения в степень

Из выражения , по определению корня,

Получаем:

Неотрицательные числа возводятся в равную натуральную степень, отсюда получаем равенство оснований степеней:

Теорема доказана.

Докажем данную теорему, основываясь только на определении корня n-й степени. Таким образом, если в выражении мы возведем левую часть в степень и получим подкоренное выражение, т. е. а, теорема будет доказана.

Разъясним теорему 4 на конкретных примерах.

Пример 3 – вычислить:

С другой стороны

Пример 4:

Обзор свойств корня n-й степени, примеры

Сделаем обзор свойств корня й степени из неотрицательного числа.

, при  (теорема 1);

, при  (теорема 2);

, при  (теорема 3);

, при  (теорема 4).

Из теоремы 4 есть важное следствие:

Следует избегать типичных ошибок, обратим на них внимание:

, например .

Перейдем к решению примеров.

Пример 5 – вычислить:

Пример 6:

Пример 7:

Итак, на данном уроке мы вспомнили ранее изученные и рассмотрели новые свойства корня n-й степени из неотрицательного числа, научились возводить его в степень и извлекать корень.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Terver.ru

2. Pm298.ru

Проверьте себя

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 389–394;

2. Возвести в степень:

   а) ; б) ; в) ; г) ;

3. Преобразовать к виду
   а) ; б) ; в) ; г) .