05. Свойства корня n-ой степени

Определение корня n-й степени, понятие арифметического корня

При доказательстве свойств корня n-й степени мы будем опираться на его определение.

Определение:

Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.

Приведем математическую запись определения:

Например, , т. к. ; , т. к. ;

Обратим внимание, что под знаком корня может стоять отрицательное число, но только в том случае, если корень – нечетной степени. В этом случае следует вынести минус из-под знака корня, и мы получим корень из неотрицательного числа: .

Напомним геометрическую интерпретацию корня n-й степени и дадим пояснения к определению.

Рассмотрим функцию  на множестве всех действительных значений. Рис. 1.

Значение функция принимает при двух различных значениях аргумента: . Другими словами, уравнение  имеет два решения, положительное и отрицательное,  –неотрицательное значение – носит название арифметического корня.

Рассмотрим функцию на множестве . Рис. 2.

Данная функция принимает значение при единственном значении аргумента . Система

имеет единственное решение .

Теорема о корне из произведения, доказательство, примеры

Корень й степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней й степени из этих чисел.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Обозначим исходные выражения через х, у и z:

Так как все выражения неотрицательные и возводятся в натуральную степень, имеем право записать:

Теорема доказана.

Рассмотрим несколько примеров на применение доказанной теоремы.

Пример 1 – вычислить:

Теорема удобна тем, что не нужно выполнять трудоемкое умножение, а иногда, наоборот, раскладывать большие числа на множители.

Пример 2 – вычислить:

Теорема 1 допускает обобщение, например, для произведения трех сомножителей.

Обобщение:

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Согласно условию , если рассматривать ab как один множитель, а с как второй, можем применить к выражению теорему 1:

Теперь можем применить теорему 1 к корню из ab:

Обобщение доказано.

Пример 3 – вычислить:

Пример 4 – вычислить:

Теорема о корне из частного, доказательство двумя способами, примеры

Если , то справедливо равенство:

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Введем новые переменные:

Так как все выражения неотрицательные и возводятся в натуральную степень, имеем право записать:

Теорема доказана.

Теорему 2 можно доказать непосредственно через теорему 1:

Дано:

Доказать (используя теорему 1):

Доказательство:

Если вышеуказанное равенство верно, то, возведя его правую часть в степень n, мы должны получить подкоренное выражение:

Рассмотрим заданное выражение:

Теорема доказана.

Пример 5 – вычислить:

Пример 6 – вычислить:

Еще одно доказательство теоремы о корне из произведения

Докажем теорему 1 вторым способом:

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Для доказательства будем использовать только определение корня.

Рассмотрим заданное выражение . Согласно определению корня, если правую часть выражения возвести в n-ю степень, мы должны получить подкоренное выражение, т. е.

Теорема доказана.

Итак, мы рассмотрели и доказали важные теоремы о корне й степени из произведения и частного. На следующих уроках мы продолжим изучение свойств корня й степени.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Terver.ru

2. Pm298.ru

Проверьте себя

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 381–384;

2. Вычислить:

   а) ; б) ; в) ; г) ;

3. Вычислить:

   а) ; б) ; в) ; г) .