01. Понятие корня n-ой степени из действительного числа
02. Корни n-й степени из действительного числа. Задачи
03. Функции y = ⁿ√x, их свойства и графики
04. Функции y=(√x)ⁿ, их свойства и графики. Задачи
05. Свойства корня n-ой степени
06. Свойства корня n-ой степени. Продолжение
07. Свойства корня n-й степени. Задачи
08. Преобразование выражений, содержащих радикалы
09. Преобразование выражений, содержащих радикалы; задачи
10. Задачи и уравнения с радикалами
11. Обобщение понятия о показателе степени - начальные сведения
12. Степень с рациональным показателем. Простейшие задачи
13. Задачи со степенями и радикалами
14. Степенные функции, их свойства и графики: начальные сведения
15. Степенные функции, их свойства и графики. Степенные функции с рациональным показателем
16. Задачи на степенные функции с рациональным показателем
07. Свойства корня n-й степени. Задачи
Видео доступно по абонементу
Основные определения
Корень -й степени есть число, которое можно найти. Если это число неотрицательное, то корень называется арифметическим.
Определение
Арифметическим корнем -й степени называется такое неотрицательное число, я степень которого равна подкоренному выражению:
Основное тождество
, исходя из определения.
Примеры
В последнем примере корень не является арифметическим. Но его можно преобразовать:
, теперь выражение является арифметическим корнем, только перед ним стоит знак минус.
Возведение корня в степень
Теорема
Если , то:
Доказательство
Согласно свойствам корня:
Тогда:
Что и требовалось доказать.
Докажем на основании определения корня:
Итак, если справедливо:
То правая часть, возведенная в -ю степень, по определению должна дать подкоренное выражение, то есть:
Проверим справедливость данного равенства. Согласно свойствам степени, показатели можем поменять местами, получим:
Что и требовалось доказать.
Примеры
Извлечение корня из корня
Теорема
Если , то:
Доказательство
Из основного тождества, если верно:
То если правую часть возвести в степень , должно получиться подкоренное выражение:
Что и требовалось доказать.
Примеры
С другой стороны
Вывод
Итак, мы изучили свойства корня, а именно его возведение в степень и извлечение из него корня. Мы доказали теоремы и решили простейшие примеры.
Список литературы
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина, 2011 г.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2013 г.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2008 г.
Полезные ссылки
Проверьте себя
Вычислить:
Вычислить:
Вычислить: