01. Показательная функция, её свойства и график. Начальные сведения
02. Показательная функция, её свойства. Простейшие показательные уравнения
03. Показательная функция, её свойства и простейшие показательные неравенства
04. Показательные уравнения
05. Показательные уравнения. Более сложные случаи
06. Показательные неравенства
07. Показательные неравенства. Более сложные случаи
08. Показательно-степенные неравенства
09. Понятие логарифма
10. Понятие логарифма. Простейшие задачи
11. Функция y = logₐx, её свойства и график
12. Функция y = logₐx, её свойства и график (продолжение)
13. Функция y = logₐx, её свойства и график. Решение задач
14. Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного
15. Свойства логарифмов. Логарифм степени
16. Свойства логарифмов, переход к новому основанию, решение более сложных задач
17. Логарифмические уравнения
18. Решение логарифмических уравнений
19. Решение логарифмических уравнений (продолжение)
20. Логарифмические неравенства
21. Решение логарифмических неравенств
22. Решение логарифмических неравенств (продолжение)
23. Число e. Функция y = eˣ, её свойства, график, дифференцирование
24. Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование
14. Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного
Видео доступно по абонементу
Некоторые теоретические сведения
Напомним определение логарифма. Для этого рассмотрим показательную функцию . В левой части стоит показательная функция, если выполняются следующие условия: , . Свойства показательной функции нам известны: она монотонна и принимает все положительные значения. Это значит, что любое положительное значение функция принимает при единственном значении аргумента, то есть, уравнение имеет единственный корень, который и называется логарифмом:
Определение:
Логарифмом числа по основанию называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .
Исходя из определения, имеем основное логарифмическое тождество:
То есть, любое положительное число можно представить при помощи основного логарифмического тождества.
Рассмотрим конкретный пример: .
По графику очевидно, что каждое свое положительное значение функция достигает при единственном значении аргумента.
Решением заданного уравнения будет такое значение аргумента:
.
Перейдем к доказательству теорем, являющихся непосредственной целью данного урока.
Логарифм произведения, формула, примеры
Теорема 1:
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
Здесь , , ,
Доказательство:
Представим числа и с помощью основного логарифмического тождества:
Тогда:
Согласно свойству степени при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются. Получаем:
По определению логарифма имеем:
Что и требовалось доказать.
Выведенная формула применяется для выполнения различного рода вычислений.
Пример 1 – вычислить:
а)
Несложно догадаться, что сумму логарифмов с одинаковым основанием можно представить как логарифм произведения:
б)
Аналогично предыдущему примеру представляем сумму десятичных логарифмов как логарифм произведения:
Комментарий: в ходе решения была применена формула .
Логарифм произведения трех положительных чисел
Обобщим выведенную формулу для произведения трех положительных чисел.
Доказать:
Здесь , , , , .
Доказательство:
Применим дважды выведенную формулу, на первом шаге будем считать произведение за единое число:
Теперь раскроем первый логарифм по той же формуле:
Что и требовалось доказать.
Перейдем к следующей формуле.
Дано: , , , .
Доказать: .
Представим числа и с помощью основного логарифмического тождества:
Тогда:
Согласно свойству степени, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Получаем:
По определению логарифма имеем:
Что и требовалось доказать.
Пример 2 – вычислить:
а)
Логарифм частного, формула, примеры
Согласно выведенной формуле, разность логарифмов с одинаковым основанием можем представить как логарифм частного:
б)
Аналогично предыдущему примеру:
Итак, мы изучили некоторые важные свойства логарифма, вывели формулы для логарифма произведения и логарифма частного. Далее мы продолжим изучение свойств логарифма.
Список литературы
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 506;
2. Вычислить:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
3. Вычислить:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
"