15. Свойства логарифмов. Логарифм степени

Некоторые напоминания

Рассмотрим показательное уравнение:

Напомним, здесь , , .

Данное уравнение имеет единственное решение (т. к. показательная функция монотонна), оно названо логарифмом:

Напомним основное логарифмическое тождество:

Проиллюстрируем на конкретном примере.

.

Данная функция монотонно убывает, как и любая другая показательная функция, основание которой лежит в пределах от нуля до единицы. Любое положительное значение функция достигает при единственном значении аргумента – . Например, значение  достигается при . Проверим:

; .

Равенство верно.

Логарифм степени, формула

Напомним уже известные нам свойства логарифма:

Логарифм произведения:

Логарифм частного:

Обратим внимание: здесь , , , .

Решение некоторых типовых задач

Пример 1 – вычислить:

а)

б)

Теперь наша цель – научиться вычислять логарифм степени.

Дано: , ; .

Доказать:

Другими словами, в данном случае показатель степени выносится как сомножитель, сложная операция возведения в степень заменяется более простой операцией умножения.

Доказательство:

Представим число с помощью основного логарифмического тождества:

Обе части возведем в степень :

Согласно свойствам степени получаем:

По определению логарифма имеем:

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим задачи на применение выведенной формулы.

Пример 2 – прологарифмировать по основанию 3 выражение:

Имеем логарифм произведения трех положительных выражений, распишем по известной формуле:

Преобразуем подлогарифмические выражения:

Согласно свойству логарифма вынесем показатели степеней как сомножители:

Пример 3 – решить уравнение:

Внесем множители под знак логарифма как показатели степени согласно свойству логарифма:

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:

Заменим разность логарифмов логарифмом частного:

Упростим правую часть:

Из определения логарифма:

Исходя из основного логарифмического тождества, получаем:

Пример 4:

Дано:

, , и считать известными числами.

Найти:

Таким образом, задача заключается в том, чтобы выразить искомый логарифм через и .

Согласно основной теореме арифметики, разложим составное число 300 на простые множители:

Имеем:

Согласно свойству логарифма, логарифм произведения представим как сумму логарифмов:

Вынесем показатели степени как сомножители:

Подставим заданные значения:

Итак, мы рассмотрели новое свойство логарифма, вывели формулу для логарифма степени. Мы рассмотрели применение свойств логарифма в некоторых типовых задачах. Далее мы продолжим изучать свойства логарифмов и решать различные задачи, применяя изученные факты.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Edu.glavsprav.ru (Источник).

2. Uztest.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 508;

2. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Выразить через  и :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .