10. Теория вероятностей. Условная вероятность. Профильный уровень

Испытания Бернулли

Рассмотрим подбрасывание монеты несколько раз. Если нас интересует выпадение орла, то можем сказать, что при повторении одного и того же опыта (броска монеты) мы изучаем появление одного и того же события (выпадение орла). При этом результат одного испытания не влияет на результат другого: у монеты нет памяти, и вероятность выпадения орла каждый раз не зависит от предыдущих бросков: , где ― вероятность выпадения орла.

Такая цепочка повторяющихся одинаковых опытов, в которых мы исследуем появление одного и того же события, результаты которых не зависят друг от друга, называется испытаниями или схемой Бернулли. Своё название она получила в честь швейцарского математика Якоба Бернулли (рис. 1), описавшего эти испытания и способ вычисления вероятностей в них.

Пример

Подбросим монету пять раз. Какова вероятность, что все пять раз выпадет орёл?

Вероятность, что при одном испытании выпадает орёл, равна: , .

Появление орла в каждом из 5 испытаний независимо, а значит, вероятности перемножаются. Получаем, что вероятность пяти орлов подряд:  ― совсем невысокая.

В самом деле, слабо верится, что всё время будет выпадать орёл. Посчитаем тогда, какова вероятность, что первый раз выпадет орёл, а потом будет чередование решки и орла.

Вероятность, что орёл не появляется (то есть появляется решка), обозначим через .

Понятно, что: , .

Тогда вероятность нашей цепочки будет выглядеть следующим образом: , то есть последовательность такого чередования не более вероятна, чем выпадение только орлов.

Рассмотрим теперь испытания Бернулли в общем виде.

Пусть в результате опыта событие наступает с вероятностью , то есть . Пусть этот опыт повторяется раз, причём результат одного испытания никак не влияет на все остальные. Вероятность, что в результате одного испытания событие не наступит, обычно обозначают буквой , и она равна:

.

Вероятность, что наступит определённая цепочка наступления и ненаступления события А, вычисляется как произведение соответствующих вероятностей и .

Решим задачу.

Задача 1.

Какова вероятность, что стрелок, делая пять выстрелов в мишень, первые три раза попадёт, а последние два раза промахнётся? Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8.

Решение:

Запишем цепочку множителей, где первые три множителя соответствуют попаданию в мишень, а последние два множителя ― промаху: , .

Ответ: .

Понятно, что 3 попадания и 2 промаха в другой последовательности, скорее всего, означают тот же самый спортивный результат. Именно поэтому более интересная задача, какова вероятность спортсмену 3 раза попасть и 2 раза промахнуться, причём последовательность попаданий и промахов неважна. Решим сначала эту задачу в общем виде.

Формула Бернулли

Пусть в каждом из испытаний Бернулли событие наступает с вероятностью . Вероятность того, что во всей цепочке из испытаний событие наступит ровно раз, обозначим как .

Запишем первую подходящую цепочку событий:

Первые раз случилось, а оставшиеся  нет (см. рис. 2). Вероятность такой конкретной цепочки равна в степени умножить на в степени , то есть:

Любая другая цепочка с таким же количеством события имеет такую же вероятность. Сколько же их? Это стандартная комбинаторная задача. Нужно посчитать, сколькими способами можно переставить в нашей цепочке элементы и (см. рис. 3).

Фактически у нас есть мест, и нужно выбрать мест, на которые мы расставим наступившие события с вероятностью . Оставшиеся  мест автоматически займут ненаступившие события с вероятностью . Количество способов выбрать мест из ― это, как мы знаем из комбинаторики, количество сочетаний

Если вы забыли смысл этих выражений, посмотрите соответствующий урок по комбинаторике (Комбинаторика. Теория вероятностей).

Понятно, что две различные цепочки не могут реализоваться обе, то есть они несовместны. А значит, наступление вероятности одной из них равна сумме вероятностей (см. рис. 4).

Поскольку вероятности всех таких цепочек равны друг другу и мы знаем, сколько их, то получаем формулу для вычисления вероятности.

― формула Бернулли.

Итак, вероятность того, что событие произойдёт ровно в испытаниях Бернулли длиной , равна количеству сочетаний из по умножить на в степени умножить на в степени . Эту формулу так и называют ― формула Бернулли.

Решим теперь задачу со стрелком.

Задача 2.

Какова вероятность, что стрелок, делая пять выстрелов в мишень, три раза попадёт? Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,8.

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли:

, , ,

Ответ: .

Таким образом, итоговая вероятность оказалась в 10 раз выше, чем в первой задаче, что неудивительно, так как получилось 10 подходящих цепочек событий (см. рис. 5).

Условная вероятность. Формула полной вероятности

Представим неприятную ситуацию: заболела собака вашего друга. Это показал очень точный тест, он ошибается один раз из тысячи. Всё плохо? Ситуация неприятная, но пока нам известно не всё, чтобы делать выводы.

Пример. Оценка вероятности болезни животного

Результат анализа на заболевание положительный. . Заболело ли животное?

А что, если болезнь очень редкая, например встречается у одной собаки из 100 000, то есть:

Тогда тест при проверке 100 000 собак ошибается сто раз (по одному разу на каждую тысячу), то есть:

Таким образом, владельцам ста собак скажут, что их питомец болен. Хотя, как говорит статистика, из 100 000 собак болеет всего одна. Получается, вероятность, что собака вашего друга действительно заболела, около 1 %.

Мы немного упростили расчёты, но получили довольно точную оценку этой вероятности. Так что огорчаться рано, лучше сделать ещё один тест, причём желательно другого производителя. Именно по этой причине в случае постановки сложных или редких диагнозов рекомендуют услышать мнение не одного, а нескольких врачей.

Очень важной задачей в теории вероятностей является вычисление вероятности некоего события, если нам известно, что произошло другое событие. Какова вероятность, что человек А в данный момент простужен (см. рис. 6)? Какова вероятность, что человек А в данный момент простужен, если известно, что он кашляет? Какова вероятность, что человек в данный момент кашляет, если известно, что он простужен? Это всё разные вопросы, и ответы на них тоже разные.

Понятно, что в случае независимых событий ничего не изменится, одно событие не влияет на другое, то есть это вырожденный случай нашей задачи. Другой вырожденный случай хорошо иллюстрируется следующей шуткой: «Интернет-опрос показал, что 100 % граждан пользуются интернетом». Её можно переформулировать следующим образом, хотя уже будет несмешно: «Какова вероятность, что человек пользуется интернетом, если известно, что он пользуется интернетом?» Мы же с вами сейчас поговорим о невырожденных случаях, когда события не являются независимыми, но и не совпадают. Рассмотрим задачу.

Задача 3.

В актовом зале собрались ученики из «А» и «Б» классов. В классе «А» 10 мальчиков и 20 девочек. В классе «Б» 15 мальчиков и 5 девочек (см. рис. 7).

Решение:

Практически на любой вопрос о вероятности мы с вами сможем ответить, используя классическое определение вероятности. Какова вероятность, что наудачу выбранный ученик ― девочка? У нас мальчиков и девочек одинаковое количество ― по 25, всего 50 учеников. Вероятность наудачу выбрать девочку:

Вероятность, что выбранный ученик ― мальчик, также:

Какова вероятность, что наудачу выбранный ученик учится в классе «А»? Поскольку в классе «А» 30 учеников, то такая вероятность равна:

А вероятность, что наудачу выбранный ученик учится в классе «Б»:

Назовём такие события Д, М, А и Б соответственно. Актовый зал в данный момент представляет собой множество всех элементарных исходов ― 50 учеников.

Теперь ответим на следующий вопрос: какова вероятность, что наудачу выбранный ученик ― девочка, если известно, что это ученик из класса «А»? Называется искомая вероятность условной и обозначается следующим образом:  ― «вероятность события Д при условии А». Ответ снова несложно получить. Всего в классе «А» 30 учеников, и 20 из них девочки. Условная вероятность:

Итак, очевидно, что условная вероятность  и обычная вероятность  не равны друг другу.

Посмотрим на соответствующие диаграммы Эйлера. Универсальное множество U содержит 50 исходов ― все ученики в актовом зале. Множество всех девочек ― 25 человек. Именно поэтому вероятность  (см. рис. 8).

Множество девочек пересекается со множеством учеников класса «А». Пересечение содержит 20 человек, 20 девочек из класса «А» (см. рис. 9).

Если мы знаем, что случайный ученик выбран из класса «А», значит, остальные варианты мы не рассматриваем, стало быть, множество на это время становится универсальным множеством, множеством элементарных исходов. Но тогда вероятность считается как отношение меры заштрихованного множества к мере множества (см. рис. 10).

То есть 20 к 30. Что и означает, что условная вероятность:

Формула условной вероятности

Обобщим это рассуждение. Пусть есть два события и во множестве элементарных исходов. Часть, которую множество занимает в универсальном множестве (в прямоугольнике), ― это обычная вероятность события (см. рис. 11).

Если же мы хотим найти условную вероятность при условии наступления , то нас интересует, какую часть занимает кусок , попавший в , от всего , то есть какую часть пересечение и (заштрихованная часть) занимает в (см. рис. 11).

Но тогда формула условной вероятности выглядит так:

Данная формула читается: «Вероятность события при условии наступления равна вероятности их совместного наступления, делённой на вероятность ».

Возникает искушение сказать, что наступление события при условии, что наступило , ― это то же самое, что совместное наступление и , поэтому и вероятности у них одинаковые. Однако это не так. Событие и в самом деле одно: ему соответствует пересечение множеств и . Но в случае обычной вероятности мы смотрим, какую долю это пересечение занимает во всём множестве исходов в прямоугольнике. А если мы вычисляем вероятность при условии, что наступило , то мы ищем, какую долю занимает то же самое пересечение, но уже только во множестве , а не во всём множестве исходов. Очевидно, условная вероятность всегда будет получаться больше, чем просто вероятность совместного наступления. И это понятно, ведь одно событие из двух уже наступило.

Рассмотрим следующую ситуацию.

Событие наступает в результате одного из несовместных событий , , , . Причём эти несовместные события исчерпывают все возможности, то есть сумма их вероятностей равна единице, следовательно, . Какова вероятность, что событие А наступит?

Воспользуемся диаграммами Эйлера. Событие разбивается событиями на кусочки (см. рис. 12).

Каждый кусочек ― совместное наступление и какого-то события , то есть пересечение этих событий. Очевидно, из этих пересечений складывается всё событие . То есть полная вероятность равна сумме вероятностей пересечений:

Но вероятность каждого пересечения можно выразить из определения условной вероятности.

Тогда полная вероятность равна сумме вот таких произведений. Данная формула так и называется ― формулой полной вероятности:

Вернёмся к нашей задаче с двумя классами.

Задача 4.

В актовом зале собрались ученики из классов «А» и «Б». В классе «А» 10 мальчиков и 20 девочек. В классе «Б» 15 мальчиков и 5 девочек. Какова вероятность, что это снова девочка?

Решение:

Когда ученики сидят в актовом зале, девочек и мальчиков одинаковое количество ― по 25 человек. Вероятность, что случайно выбранный ученик ― девочка, равна:

Теперь пусть ученики сидят по своим классам. Мы случайно выбираем один класс и там случайно выбираем одного ученика. Какова вероятность, что это снова девочка? Ответ  будет неверным. Хороший вопрос ― почему? Дело в том, что в классах разное количество человек. Именно поэтому вероятность быть случайно выбранным у учеников неодинакова, следовательно, каждый ученик в отдельности не может соответствовать элементарному исходу, так что классическая формула неприменима. Воспользуемся формулой полной вероятности:

Событие Д ― «выбрана девочка» ― может наступить в результате двух событий: А ― «выбран класс “А”», и Б ― «выбран класс “Б”».

Условная вероятность Д при условии А:

А вероятность Д при условии Б:

Записываем формулу полной вероятности:

Ответ: .

Самостоятельно вычислите полную вероятность события М, то есть того, что выбранный таким образом ученик окажется мальчиком. Понятно, ответ должен получиться:

В такой простой постановке можно было обойтись и обычными рассуждениями. Всего 4 исхода: класс «А» мальчик/девочка и класс «Б» мальчик/девочка. Затем посчитать вероятность каждого из исходов и сложить интересующие нас. Собственно, по нашим вычислениям мы, по сути, так и делали.

Формула Байеса

Запишем две условные вероятности. Вероятность А при условии В: 

И вероятность В при условии А:

Мы уже должны хорошо понимать, что это совсем не одно и то же.

Пусть событие А ― человек болен, В ― человек кашляет (см. рис. 13). В обоих случаях речь идёт о совместном выполнении двух событий: болен и кашляет, но мы обладаем разной информацией.

Вероятность А и при условии В изображена на рис. 14: какова вероятность, что человек болен, если он кашляет. Мы по опыту знаем, что вероятность очень высокая. Кашляешь ― надо идти к врачу.

И наоборот, какова вероятность, что человек кашляет, если он болен (см. рис. 15). Очень много болезней не вызывают кашля, так что вероятность будет намного ниже.

А вот простая безусловная вероятность совместного наступления выглядит так (см. рис. 16): каковая вероятность, что случайный человек болен и кашляет, при этом ни того ни другого мы пока про него не знаем. Эта вероятность меньше каждой из двух условных.

Итак, в каждой из формул условной вероятности выразим общую безусловную вероятность совместного наступления.

, значит, .

, значит, .

Теперь приравняем выражения справа друг к другу: .

Выразим одну условную вероятность через другую: .

Полученная формула называется формулой Байеса в честь английского математика и священника Томаса Байеса (см. рис. 17), который жил ещё в XVIII веке, почти 300 лет назад.

Формула Байеса позволяет поменять причину со следствием. Решим стандартную задачу из ЕГЭ.

Задача 5.

Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45 % этих стёкол, вторая — 55 %. Первая фабрика выпускает 3 % бракованных стёкол, а вторая — 1 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Найдите вероятность, что купленное бракованное стекло сделано на первой фабрике.

Решение:

Первый вопрос сразу отправляется нас к формуле полной вероятности:

Вероятность того, что стекло бракованное, складывается из двух возможностей: стекло выпущено первой фабрикой и оно бракованное или стекло выпущено второй фабрикой и оно бракованное. Все вероятности для формулы даны в условии.

Ответим на второй вопрос. Мы купили стекло, оно оказалось бракованным. Какова вероятность, что оно сделано на первой фабрике? Нас интересует условная вероятность события 1 при условии события Б. Используем формулу Байеса:

Безусловная вероятность события Б в знаменателе ― это и есть полная вероятность, которую мы только что нашли, а остальное дано в условии задачи:

Ответ: ; .

Рассмотрим менее искусственную задачу.

Задача 6.

Пусть статистика сезонной заболеваемости утверждает следующее: 10 % населения болеют в этот период. У 90 % заболевших наблюдается кашель. В среднем в этот период кашляют 18 % населения. Вы с утра начали кашлять. Какова вероятность, что вы заболели?

Решение:

Тот факт, что 90 % заболевших кашляют, совершенно не означает, что вы болеете с такой же вероятностью. Воспользуемся формулой Байеса:

Вероятность болезни при наличии кашля запишем с помощью обратной условной вероятности, которая известна статистически:

Ответ: .

В итоге мы получили, что вероятность, что вы заболели, оказалась не 90 %, а всё-таки меньше ― 50 %.

Такие путаницы возникают часто, когда люди плохо различают две условные противоположные друг другу вероятности.

Список литературы

1. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для 11 кл. общеобр. учреждений. Углублённый уровень / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков; под ред. В. Е. Подольского. ― М.: Вентана-Граф, 2019.

2. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для 11 кл. общеобр. учреждений. Профильный уровень. Часть 1 / А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. ― М.: Мнемозина, 2022.

Дополнительные рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Независимые повторения испытаний с двумя исходами (Источник).

2. Введение в теорию вероятностей (Источник).

Домашнее задание

1. Найдите вероятность того, что при 7 бросках монеты орёл выпадет 4 раза.

2. Игральную кость бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что 2 очка:
   а) не выпадут;
   б) выпадут 2 раза.

3. В магазин поступило два вида моделей сплит-систем: 30 штук моделей первого вида и 70 штук второго. Средний процент сплит-систем с браком первой модели составляет 20 %, а второй ― 10 %. Наудачу купленная в магазине сплит-система оказалась исправной. Найдите вероятность того, что купленная сплит-система является сплит-системой первого вида.