02. Тригонометрические функции y = tg t, y = ctg t

Определение функции

Функциейназывается закон, по которому каждому допустимому значению x ставится в соответствие единственное значение y.

x – аргумент, независимая переменная

y – функция, зависимая переменная

X – область определения. Обозначается D(f)

Y – область значений. Обозначается E(f)

Теперь напомним определения конкретных функций  y = tg t, y = ctg t

Каждому действительному числу t соответствует единственная точка M на числовой окружности. Эта точка M будет иметь две координаты. То есть,. Назовем (Рис.1).

Определение функций y = tg t, y = ctg t

Из рассмотрения подобных треугольников, мы говорили, что AT

 – линия тангенсов, а BK

 – линия котангенсов. Таким образом, мы определили функции tg t и ctg t.

Периодичность функций y = tg t, y = ctg t

Функциипериодические. Наименьшим положительным периодом для данных функций является число. Поясним это.

Продлив прямую, получим вторую точку N а также угол, точкии .

Отсюда:

По формулам приведения, получим:

Аналогично, для котангенса:

Сделаем выводы:

для любого допустимого a.

Связь числового и углового аргумента, примеры

Мы знаем, как по заданному значению аргумента t получить tg t. Для этого можно воспользоваться линией тангенсов. Мы знаем также, что наименьший период – n.

Приведем конкретные примеры для тангенса.

Из рисунка видно, что:

Примеры можно продолжать.

Приведем аналогичные примеры для котангенса.

Из рисунка видно, что:

График y = tg t, свойства

Построим график функции. Он частично отображен на Рис. 5:

Охарактеризуем основные свойства функции:

1. Область определения:

2. Область значения:

3. Функция нечетная, то есть, график функции симметричен относительно начала координат

4. Наименьшим периодом является число

5. На промежуткефункция монотонно возрастает. Значит, любому значению y=a соответствует  единственное значение аргумента arctg a.

Таковы основные свойства функции y=tg t.

График y = ctg t, свойства

Аналогично рассмотрим функцию.

Построим график функции y=ctg t. Он частично отображен на Рис. 6:

Охарактеризуем основные свойства функции:

1. Область определения:

2. Область значения:

3. Функция нечетная, то есть, график функции симметричен относительно начала координат

4. Наименьшим периодом является число

5. На промежуткефункция монотонно убывает. Значит, каждое значение a она принимает  только при одном значении аргумента, которое называется.

Таковы основные свойства функции.

Рассмотрение задачи, связанной с периодичностью функций y = tg t, y = ctg t

Спецификой тригонометрических функций является наличие у них периода. Рассмотрим и обсудим одну из задач, связанную с периодом.

Для начала напомним, что:

1.

2.

Приведем пару примеров:

3.

 – функция периодическая, наименьший период которой равен. Данная функция тоже периодическая, наименьший период.

Важно, что коэффициент, стоящий перед параметром t, равен 3. Поэтому данная функция имеет наименьший положительный период, равный.

Формулы, связывающие тригонометрические функции

Рассмотрим формулы, связывающие между собой . Эти формулы являются следствием определений этих функций.

Имеем единичную числовую окружность, заданное число t, точка на окружности M имеет две координаты:. Получаем на линии тангенсов ина линии котангенсов.

Вспомним уравнение окружности:

Сразу же получаем основное тригонометрическое тождество, которое справедливо для любого числа t:

Преобразуем это тождество, поделив его части на:

Получаем следующую формулу:

Аналогично, поделив исходное тождество на, получим:

И наконец:

Таковы основные формулы, связывающие

.

Теперь рассмотрим конкретную вычислительную задачу.

Дано:

.

Найти:.

Прокомментируем условие задачи. Известен, который не задает однозначно угол, но данный угол лежит в 3 четверти, а такой угол только один.

Решение:

1. Найдем.

2. Так как, то:

Отсюда:, так как угол находится в 3 четверти.

3. Найдем.

Так как, то:

Отсюда:, так как угол находится в 3 четверти.

Ответ:.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Подготовка к ЕГЭ по математике (Источник).

2. Математика.ру (Источник).

3. Википедия (Источник).

Домашнее задание

1. Определите наименьший положительный период функций:

.

2. Найдите значения всех тригонометрических функций, если.

3. Постройте график функции.

4. Алгебра и начала анализа, Мордоквич А.Г.: № 93-97