03. Тригонометрические уравнения, вычисления

Определение прямой и обратной задачи

С любой конкретной функцией связаны две задачи: прямая и обратная.

Пусть.

Прямая задача:

Дано: задано значение аргумента.

Найти: соответствующее значение функции.

Обратная задача:

Дано: задано значение функции.

Найти: множество всех значений аргумента x, при которых(найти все значения x, удовлетворяющие данному соотношению).

Решение прямой и обратной задачи зависит от закона, по которому каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Напоминание определений функций y = sin t, y = cos t, y = tg t, y = ctg t

Напомним каждый из этих законов для тригонометрических функций.

Таким образом, заданы функции

.

Заметим, что t=a, если a вычислять в радианах.

После сделанных напоминаний рассмотрим подробно следующее уравнение:

Дано:.

Найти: все значения аргумента t, синус которых равен .

Решение:

где– длины дуг

Ответ:

Рассмотрение решения тригонометрического уравнения

Решение множества тригонометрических уравнений заключается в сведении их к простейшим уравнениям:

1.

2.

3.

4.

Сведение тригонометрических уравнений к простейшим

Следующая задача позволит проверить, насколько четко мы понимаем решение одного из простейших уравнений.

Решить систему:

В данном случае мы имеем смешанную систему, то есть в системе есть как уравнение, так и неравенство.

Обсудим решение уравнения.

Точкипроектируются на линию косинусов в точку. Точка соответствует множеству углов, а именно. Точкасоответствует другому множеству углов, а именно.

Таким образом, мы обсудили, как необходимо решить задачу.

Рассмотрение решения простейшего тригонометрического уравнения

Решение:

1.

2.

Так как для точки, а для точки, получаем ответ.

Ответ:.

Применение метода замены переменных для сведения исходного тригонометрического уравнения к простейшему

Имеется несколько важнейших методов, с помощью которых исходное тригонометрическое уравнение сводится к простейшему. Важнейшим из этих методов является замена переменных.

Продемонстрируем данный метод на следующем уравнении.

Решить уравнение:

.

Решение:

Так как аргументы в данном уравнении одинаковы, а функции разные, необходимо свести к одной функции:

В результате решения квадратного уравнения получили корни:

Оказывается, исходное уравнение равносильно уравнению:

Ответ:.

Основные формулы тригонометрии в применении для решения простейшей вычислительной задачи

Сведение тригонометрических уравнений к простейшим, многочисленные преобразования выполняются с помощью формул тригонометрии. Некоторые из них мы вспомним с помощью следующей обобщенной вычислительной задачи.

Дано:.

Найти:

1.;

2.;

3.

Решение:

1. Вспомним связь между тангенсом и косинусом:

Так как тангенс нам известен:

Найдем:

И, наконец, используем связь между синусом и котангенсом:

Ответ:

2. Воспользуемся формулами понижения степени и найдем:

Найдем:

Ответ:.

3.. Отсюда;

. Отсюда;

.

Отсюда;

.

Ответ:

;

.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Подготовка к ЕГЭ по математике (Источник).

2. Википедия (Источник).

Домашнее задание

1. Упростите выражение:

при

2. Докажите тождество:

3. Решите уравнение:.

4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 278-280, 286, 288