13. Уравнения и неравенства с двумя переменными

Основные теоретические факты

Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.

 – уравнение с двумя переменными;

 – неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;

Здесь х и у – переменные, р – выражение, от них зависящее

Пара чисел () называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.

Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу – найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.

Уравнение и неравенство с прямой

Пример 1 – решить уравнение и неравенство:

Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.

и

Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:

Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую

Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х0, х0+1)

Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой, включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х0 на прямой, то имеем равенство. Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем. Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству:.

Уравнение и неравенство с окружностью

Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.

Пример 2 – решить уравнение и неравенство:

и

Мы знаем, что заданное уравнение – это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

В произвольной точке х0 уравнение имеет два решения: (х0; у0) и (х0; -у0).

Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).

Уравнение с модулями

Рассмотрим уравнение с модулями.

Пример 3 – решить уравнение:

В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х0; у0) является решением, то и точка (х0; -у0) – также решение, точки (-х0; у0) и (-х0; -у0) также являются решением.

Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:

Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.

Метод областей в решении неравенств

Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.

Пример 4 – изобразить множество решений неравенства:

Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:

Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.

ОДЗ:, значит, ось х выкалывается.

Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:

Строим график функции.                                 

, учитывая ОДЗ

Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой и ломаной. внутри ломаной находится область D1. Между отрезком ломаной и прямой – область D2, ниже прямой – область D3, между отрезком ломаной и прямой – область D4

В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.

В области возьмем точку (0;1). Имеем:

Так, вся область положительна и удовлетворяет заданному неравенству.

В области возьмем точку (10;1). Имеем:

Так, вся область отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.

В области возьмем точку (0;-5). Имеем:

Так, вся область положительна и удовлетворяет заданному неравенству.

В области возьмем точку (-3;1). Имеем:

Так, вся область отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.

Изобразим множество решений неравенства, как требовалось в задаче:

Итак, мы рассмотрели решение различных уравнений и неравенств с двумя переменными, на следующем уроке одну из переменных назовем параметром.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Домашнее задание

1. Решить уравнение:

а); б);

в); г);

2. Решить неравенство:

а) б); в); г);