18. Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры

Суть решения задач с параметром, простейшие примеры

Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.

Решить задачу, например уравнение или неравенство с параметром означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.

Решение уравнений с параметром

Поясним на простейших примерах.

Пример 1 – решить уравнение с параметром:

Задача состоит в том, чтобы для каждого значения параметра a решить уравнение относительно x.

Пусть , тогда имеем простейшее линейное уравнение:

В общем случае в данном уравнении возможны два варианта решения – когда можно делить на коэффициент а и когда нельзя, необходимо перебрать все допустимые значения параметра

Рассмотрим два случая. При мы не имеем права разделить единицу на коэффициент а, поэтому подставляем значение ноль в заданное уравнение и изучаем его. При любых других значениях а имеем право выполнить деление:

Ответ: при решений нет, при

Рассмотрим решение простейшего неравенства с параметром.

Решение неравенства с параметром

Рассмотрим решение простейшего неравенства с параметром.

Пример 2 – решить неравенство с параметром:

Если конкретное число, мы можем легко решить заданное неравенство, например:

у нас же есть коэффициент а в общем виде. Рассмотрим три случая:

Ответ: при решений нет; при ; при  

Пример 3 – решить уравнение с параметром:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель ее равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

Значение параметра может быть любым. Рассмотрим два случая:

При этом получаем в первом случае: х с одной стороны равен пяти, т. к. , а с другой стороны не равен пяти, т. к. знаменатель дроби не может быть равен нулю, кроме того получаем выражение , а такого выражения не существует.

Когда , противоречий не возникает

Ответ: при решений нет, при

Пример 4 – решить уравнение с параметром:

Значение а может быть любым, но квадратный корень – это строго неотрицательное число. Следовательно, рассматриваем два случая:

Ответ: при  ; при . 

Решение иррационального уравнения с параметром

Решим иррациональное неравенство с параметром.

Пример 5 – решить неравенство с параметром:

Исследуем данное неравенство.

х стоит под знаком квадратного корня, значит допустимые значения по х  - все неотрицательные значения. а может принимать любые значения. рассмотрим три случая. Если a меньше нуля и корень существует, то неравенство выполняется. Если , любой неотрицательный х удовлетворяет неравенству. Если же a больше нуля, имеем право возвести в квадрат:

Ответ: при  ; при

Рассмотрим решение данного неравенства графическим методом. Для этого сначала строим график функции, стоящей в левой части: , область определения данной функции . Рассекаем полученную кривую семейством прямых  и находим точки пересечения.

По рисунку 1 очевидно, что когда , кривая находится над прямой при всех допустимых х, то есть при всех допустимых х неравенство выполняется.

Если а положительно, кривая имеет единственную точку пересечения с прямой и кривая находится выше прямой правее точки пересечения, абсцисса точки пересечения , поэтому решением неравенства является

Очевидно, что ответ совпадает с ответом при решении аналитическим способом. 

Пример 6 – решить уравнение с параметром:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует.

Рассматриваем два варианта – либо , но корень при этом должен существовать, либо , в таком случае а – любое число:

Ответ: при ; при .

Итак, мы рассмотрели решение различных простых задач, в которых присутствует параметр. Далее рассмотрим задачи, в которых присутствуют линейные функции и параметр.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Параметры

Проверьте себя

1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 132, 137, 138 ст. 282-283;

2. Решить уравнение с параметром:

   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) ;

3. Решить неравенство с параметром:

   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) .