03. Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции)

Методика построения эскизов графиков функций

Наша цель ― построить эскиз графика дробно-квадратичной функции. Для примера возьмём уже знакомую нам функцию:

Задана дробная функция, в числителе и знаменателе которой стоят квадратичные функции.

Методика построения эскиза такова:

1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рис. 1).

Мы подробно рассматривали и выяснили, что функция, непрерывная на своей области определения, может сменить знак только при переходе аргумента через нули и точки разрыва.

Заданная функция у непрерывна на своей области определения, укажем область определения:

Найдём нули функции:

Выделим интервалы знакопостоянства. Мы нашли нули функции и точки разрыва области определения ― корни знаменателя. Важно отметить, что внутри каждого интервала функция сохраняет знак.

Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить её в функцию и определить её знак. Например:

На интервале функция имеет знак плюс:

На интервале функция имеет знак минус.

В этом преимущество метода интервалов: мы определяем знак в единственной пробной точке и заключаем, что функция будет иметь такой же знак на всём выбранном интервале.

Однако можно выставлять знаки автоматически, не высчитывая значений функции, для этого нужно вспомнить правило чередования знаков: если нуль функции (или точка разрыва) имеет нечётную кратность, то знак функции в этой точке меняется, если чётную ― то не меняется.

1. Построим график в окрестности каждой точки. Напомним, что нули данной функции и :

Поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осьюВ точке наоборот.

1. Построим график в окрестности каждого точки разрыва. Напомним, что корни знаменателя данной функции и :

Когдаили , знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева, функция положительна и стремится к плюс бесконечности, справа функция отрицательна и выходит из минус бесконечности. Около четвёрки, наоборот, слева функция стремится к минус бесконечности, а справа выходит из плюс бесконечности.

Согласно построенному эскизу, мы можем в некоторых промежутках угадать характер поведения функции.

1. Рассмотрим следующую важную задачу ― построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удалённых точек, то есть когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
   

Иногда можно встретить такую запись данного факта:

Мы получили приблизительный характер поведения функции на всей её области определения, далее нужно уточнять построения с применением производной.

Решение примера № 1

Пример 1 ― построить эскиз графика функции:

Строим эскиз графика функции без использования производной.

Сначала исследуем заданную функцию:

Область определения:

Нули функции: .

Имеем три точки, при переходе аргумента через которые функция может менять знак.

Отметим, что заданная функция нечётная.

Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень.

Строим эскиз графика в окрестностях нулей функции и точек разрыва. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью Когда или , знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к минус двум слева, функция отрицательна и стремится к минус бесконечности, справа функция положительна и выходит из плюс бесконечности. Около двойки аналогично.

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удалённых точек, то есть когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.

Найдём производную функции:

Очевидно, что производная всегда меньше нуля, следовательно, функция убывает на всех участках.

Проиллюстрируем:

Решение примера № 2

Пример 2 ― построить эскиз графика функции:

Строим эскиз графика функции без использования производной.

Сначала исследуем заданную функцию:

Область определения:

Нули функции:

Имеем единственную точку, при переходе аргумента через которую функция может менять знак.

Отметим, что заданная функция нечётная.

Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знак меняется, так как корень имеет первую степень.

Строим эскиз графика в окрестностях корня. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удалённых точек, то есть когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.

Найдём производную функции:

Выделяем интервалы знакопостоянства производной:

при .

Область определения производной:  . Таким образом, имеем три интервала знакопостоянства производной и три участка монотонности исходной функции. Определим знаки производной на каждом интервале. Когда и производная положительна, функция возрастает; когда , производная отрицательна, функция убывает. При этом ― точка минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс; , наоборот, точка максимума.

(так как функция нечётная)

Таким образом, функция меняется в пределах .

Проиллюстрируем:

Итак, мы рассмотрели построение графика дробно-квадратичной функции, далее будем рассматривать график дробно-линейной функции.

Список рекомендованной литературы:

1. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для 10 кл. общеобр. учреждений. Базовый уровень / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков; под ред. В. Е. Подольского. ― М.: Вентана-Граф, 2019.

2. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для 10–11 кл. общеобр. учреждений. Базовый уровень / А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. ― М.: Мнемозина, 2022.

3. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10–11 кл. общеобр. учреждений. Базовый и углублённый уровни / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др. — М.: Просвещение, 2018–2020.

Полезные ссылки

1. Пример исследования функции для построения эскиза графика

2. Исследование функции

Проверьте себя

Построить эскизы графиков функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .