10. Задачи и уравнения с радикалами

Повторение теоретических фактов

Ключом к решению всех типов задач, рассматриваемых в данной теме, является определение арифметического корня и его свойства.

Еще раз напомним основное определение.

Определение:

Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.

Приведем математическую запись определения:

Например: , т. к. , т.к. ,

Решение примеров на упрощение и вычисление

Рассмотрим более сложные примеры.

Пример 1 – упростить выражение:

Обоснование:

Вспомним основные свойства арифметических корней:

, при  (теорема 1);

, при  (теорема 2);

, при  (теорема 3);

, при  (теорема 4);

при  (теорема 5).

Пример 2 – вычислить:

Чтобы выполнить вычисление, нужно преобразовать числитель, для этого во второй скобке представим составные числа в виде простых:

Получаем:

Разложим скобку на множители способом группировки:

После преобразований получаем дробь:

Имеем право сократить:

Несложно заметить в полученном выражении формулу разности квадратов, свернем ее:

Пример 3 – вычислить: 

Сначала вычислим внутренний корень:

После преобразования получили выражение:

Пример 4 – упростить выражение:

Важно заметить в подкоренном выражении полный квадрат:

Получаем:

Комментарий: для выделения полного квадрата имеем право представить а как , т. к. в заданном выражении присутствует , значит, а принимает неотрицательные значения.

Пример 5 – упростить выражение:

Выделяем полный квадрат:

Получаем:

Комментарий: число отрицательное, имеем право раскрыть модуль.

Уравнения с радикалами, типы, примеры решения

Важно уметь решать уравнения с радикалами, рассмотрим первый тип таких уравнений.

Чтобы не потерять при решении корни и не приобрести новых корней, следует наложить некоторые ограничения. В первую очередь ОДЗ: . Далее:

Заметим, что при выполнении второго условия ОДЗ соблюдается автоматически, поэтому его отдельно можно не указывать.

Мы получили смешанную систему, в ней присутствуют уравнение и неравенство. Отметим, что неравенство решать не обязательно, достаточно решить уравнение и полученные корни подставить в неравенство – выполнить проверку, т. к. очень часто неравенство очень сложно или невозможно решить.

Второй тип уравнений:

Укажем область определения. ОДЗ:

Чтобы решить заданное уравнение, нужно возвести его в квадрат, получим:

Чтобы упростить нахождение области определения, можно оставить только одно из двух неравенств, т. к. два числа равны друг другу и если одно из них больше нуля, то и второе тоже. Получаем системы для решения уравнения:

или

Аналогично первому типу получена смешанная система, можем решить уравнение и выполнить проверку, не решая полностью неравенство.

Рассмотрим конкретные примеры уравнений.

Пример 6:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Решаем полученную систему:

Ответ:

Данный пример можно решать другим способом. Рассмотрим две функции – выражения стоящие в правой и левой части заданного уравнения:

Первая функция монотонно убывает (т. к. под корнем стоит линейная убывающая функция, ее угловой коэффициент меньше нуля), вторая монотонно возрастает.

Проиллюстрируем сказанное:

Поскольку одна из функций монотонно убывает, а вторая монотонно возрастает, то уравнение имеет единственное решение, если решение вообще существует. Таким образом, если мы найдем один корень заданного уравнения, это будет обоснованный ответ к задаче.

Корень существует, по рисунку мы видим, что это , чтобы убедиться в этом, подставим найденный корень в исходное уравнение. Получаем верное числовое равенство.

Пример 7:

Имеем эквивалентную систему:

Решаем полученную систему:

Ответ:

Пример 8:

В данном случае удобно выполнить замену переменных.

Обозначим , возведем в квадрат, получаем:

Получаем уравнение:

Не теряем при этом ограничение:

Решаем полученное квадратное уравнение любым способом, находим корни:

или

Лишний корень отбрасываем, остается

Таким образом,

Итак, мы рассмотрели решение задач и уравнений, содержащих радикалы. В следующем уроке мы обобщим понятие о показателе степени.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Проверьте себя

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 418–421;

2. Упростите выражение:
   a) ;
   б) ;

3. Решите уравнение:
   a) ;
   б) .