16. Задачи на степенные функции с рациональным показателем

Степень с рациональным показателем, определение, свойства, пример задачи

Напомним основное определение.

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем  называется число .

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем  называется число .

Для  выполняется равенство:

Например:

; ; не существует по определению;

; .

Напомним свойства степени с рациональным показателем:

Здесь , , s и r – рациональные числа;

1. ;

2. , при ;

3. ;

4. ;

5. .

Переходим к решению типовых задач.

Пример 1 – упростить выражение:

Разложим числитель на множители:

Чтобы сократить полученную дробь, укажем ограничение:

.

Кроме того, укажем ОДЗ по определению степени с рациональным положительным показателем:

.

Получаем:

Степенная функция, теоретические положения

Рассмотрим степенную функцию с рациональным показателем, конкретно нас интересуют случаи с нецелым показателем, т. к. функции с целым показателем мы уже изучили ранее.

:

1. 

2. 

Например: , по определению .

Сравним графики функций  и  (Рис. 1).

Графики функций  и  (слева и справа соответственно)

Область определения функции  - , график известен, он проходит через три фиксированные точки.

Для второй функции область определения –

Различие функций наглядно показано на рисунке 1.

Производная и первообразная степенной функции

Для каждой функции нужно уметь находить производные, первообразные и решать типовые задачи на них. Мы рассмотрим, как находить производную и первообразную для степенной функции.

Производная степенной функции:

,

.

Рассмотрим сложную функцию, когда в рациональную степень возводится не просто х, а некоторая функция

:

.

Неопределенный интеграл:

Решение типовых задач

Типовыми являются задачи на область значений функции.

Пример 2 – найти область значений функции:

а)

Функция возрастает согласно рассмотренным ранее свойствам, достаточно вычислить значение функции в концах отрезка:

Ответ: область значений функции на заданном интервале .

б)

Функция возрастает, т. к. является суммой двух возрастающих функций, достаточно вычислить значение функции в концах отрезка:

.

Ответ: область значений функции на заданном интервале .

Пример 3 – найти наибольшее значение функции:

Решение:

Исследуем без применения производной.

Используем элементы метода интервалов. Найдем ОДЗ: . Найдем корни функции, для этого разложим выражение в правой части на множители и приравняем его к нулю:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует, получаем:

или .

Итак, область определения функции разбита на два интервала: и (рис. 2).

Функция

Несложно заметить, что на первом интервале функция положительна, а на втором отрицательна.

Итак, исследование графика без производной дает нам следующие факты: примерный график функции, интервалы ее разбиения на положительную и отрицательную часть. Если функция положительна, график находится над осью х, если отрицательна – под осью.

Очевидно, что наибольшего своего значения функция достигает на первом интервале.

Возьмем производную:

Приравняем производную к нулю:

.

 – точка максимума, т. к. это единственная критическая точка. До этой точки производная – величина положительная, функция возрастает, далее производная меняет знак, функция убывает.

Пример 4 – найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Данная задача решается с помощью первообразной (рис. 3).

График функции  на заданном интервале

Пример 5 – решить уравнение :

.

Находим производную:

.

Приравняем производную к нулю:

.

Введем замену:

.

Получаем квадратное уравнение:

.

Находим корни любым способом, например по теореме Виета:

.

Второй корень не удовлетворяет условиям, остается единственный ответ:

.

Имеем:

.

Итак, мы повторили теорию и рассмотрели различные типовые задачи на степенные функции с рациональным показателем. Далее мы перейдем к изучению показательных функций.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Домашнее задание

1. Найдите производную заданной функции:
   а) ; б) ; в) ; г) .

2. Найдите значение производной в заданной точке:
   а) ; б) ; в) ;
   г) .

3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции:
   а) ; б) ; в) ; г) .

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Edu.glavsprav.ru (Источник). 

2. Pm298.ru (Источник).