04. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Идея и методы решения задач, приводящих к понятию определенных интегралов

Первая задача. Задача о площади криволинейной трапеции.

Вторая задача. Задача о массе неоднородного стержня.

Третья задача. Задача о перемещении точки.

Мы рассмотрим идею и метод для решения этих задач.

Задача 1

Первая задача. (О площади S криволинейной трапеции)

Формулируется следующим образом:

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: на отрезке,

 – ось X. Найти площадь. Особенность заключается в том, что верхняя линия в криволинейной трапеции задается функцией. Идея метода – разбить отрезок на определенные маленькие отрезки и считать площади каждого прямоугольника.

Рассмотрим подробно первое действие. А именно разбиение отрезка на n равных частей. Отрезок

 разбивается на n равных частей точками .

Величина.

Важно отметить особенности построения. Если

, независимо от того, разобьем мы отрезок на 100, 200 или больше частей.

Второе действие. Зафиксируем n и приближенно найдем площадь

Как мы это сделаем? Площадь искомой криволинейной трапеции заменим поступенчастой линией. Значение функции на отрезке [] мы заменим значением функции в левом конце. Таким образом, мы имеем прямоугольники. У них одинаковые основания. А высота – значения функции в левом конце.

Площадь первого прямоугольника.

Площадь второго прямоугольника.

И так далее.

Таким образом, мы разбили площадь на отдельные прямоугольники, сосчитали площадь каждого прямоугольника и суммируем эти площади, получаем:

 Итак, при фиксированном n примерное значение функции мы имеем. Но это примерное. Как получить точное?

Устремим. Тогда ступенчатая ломаная будет стремиться занять положение функции

. И сумма будет стремиться к искомой площади. Более точно:.

Задача 2

Вторая задача. (О вычислении массы M неоднородного стержня AD).

Стержень AD неоднородный. Разместим его в координатной плоскости, как показано на рисунке.

Нам дано: Плотность,.

Найти: Массу стержня.

Рассмотрим частный случай, когда стержень однородный (). Тогда масса стержня легко считается.

. Но у нас стержень неоднородный, величина – непостоянная, надо найти массу такого стержня. Метод решения этой задачи аналогичен методу решения, который мы использовали в первой задаче. А именно: разбиение стержня на n равных частей с почти одинаковой плотностью

 на отрезке. Но массу стержня здесь мы умеем считать. Таким образом, разбили стержень и умеем считать массу каждого маленького отрезка этого стержня. Далее, как и в первой задаче, проведем необходимые вычисления на каждом отрезке.

;

;

………………

.

Складываем, получаем:

Ясно, что мы получили примерное значение искомой величины. Точность увеличивается, если увеличивается n,

.. Более точно:

Задача 3

Третья задача (о перемещении точки)

Дано: скорость точки.

Найти: длину пути.

Суть задачи заключается в том, что по скорости надо найти длину пути.

Например, мы едем на машине, скорость в каждый момент времени мы знаем. Нужно вычислить путь.

Решение.

Разбиваем отрезок на n равных отрезков;

Далее вычисляем путь на каждом из отрезков

;

;

………………

.

Если отрезок маленький, то значение скорости – почти постоянная величина.

Суммируем все пути:

. Более точно:.

Одна математическая модель для трех задач

Итак, мы рассмотрели три задачи, которые описываются с помощью одной и той же математической модели.

О площади S под кривой BC. Была дана функцияНужно было найти площадькриволинейной трапеции.

О массе стержня AD. Здесь – плотность. Требовалось найти массу. Масса равнялась площади под этой кривой.

О перемещении точки. Была дана. Скорость известна в каждый момент времени. Нужно было найти перемещение. Перемещение равнялось площади:

.

Общий метод решения

То есть решение трех задач – это нахождение данной площади. Напомним метод, с помощью которого мы решали и пытались решить каждую из трех задач.

Общий метод решения задач:

Разбиение отрезка на n равных отрезков. Каждое Δx одинаковой длины.

Вычисление. То есть вычисление площади каждого из прямоугольников, площади под ступенчатой линией.

.

Если мы сумеем найти предел, то мы получим искомую площадь криволинейной трапеции:

.

Обсудим все же идею суммирования:

Вот мы находим и устремляем. Но что это означает?

Каждый прямоугольник фиксирован, если n – величина постоянная. Фиксирована высота и основание. Если

, то сторона прямоугольника почти что равна нулю. И получается, что мы складываем почти отрезки. Во что же превращается прямоугольник, если почти равна нулю? Он превращается почти в отрезок. Получается, мы складываем бесконечно много площадей бесконечно малых.

Можно задать вопрос: существует ли такой предел таких сумм, которые называются интегральными? На школьном уровне нам понятно, что предел существует из геометрических соображений. И это площадь под криволинейной трапецией. Особую значимость представляет сам принцип бесконечного разбиения и суммирования бесконечного числа бесконечно малых площадей. И в результате, рано или поздно, мы получим искомую площадь.

В частном случае мы уже сейчас можем находить площади криволинейных трапеций.

Частный случай

Дано: Криволинейная трапеция ABCD

Найти:

.

Решение.

Трапеция ABCD задана следующим образом:

Полуокружность с центром в точкес радиусом

,

Чтобы найти площадь, нужно из площади прямоугольника вычесть площадь половины круга.

.

Ответ:

Итак, мы рассмотрели три задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, которому и посвятим следующий урок.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Pm298.ru (Источник).

2. Pm298.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

   .

2. Найти площадь фигуры, которую задает полуокружность с центром в точке

   с радиусом,