01. Понятие корня n-ой степени из действительного числа
14 мин
02. Корни n-й степени из действительного числа. Задачи
17 мин
03. Функции y = ⁿ√x, их свойства и графики
15 мин
04. Функции y=(√x)ⁿ, их свойства и графики. Задачи
20 мин
05. Свойства корня n-ой степени
17 мин
06. Свойства корня n-ой степени. Продолжение
18 мин
07. Свойства корня n-й степени. Задачи
20 мин
08. Преобразование выражений, содержащих радикалы
18 мин
09. Преобразование выражений, содержащих радикалы; задачи
18 мин
10. Задачи и уравнения с радикалами
19 мин
11. Обобщение понятия о показателе степени - начальные сведения
16 мин
12. Степень с рациональным показателем. Простейшие задачи
16 мин
13. Задачи со степенями и радикалами
18 мин
14. Степенные функции, их свойства и графики: начальные сведения
17 мин
15. Степенные функции, их свойства и графики. Степенные функции с рациональным показателем
20 мин
16. Задачи на степенные функции с рациональным показателем
22 мин
13. Задачи со степенями и радикалами
Видео доступно по абонементу
Повторение теории
Напомним основное определение.
Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателемназывается число.
Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателемназывается число.
Длявыполняется равенство:
.
Например:
Напомним свойства степеней с рациональными показателями.
Здесь,, s и r – рациональные числа.
1.;
2.;
3.;
4.;
5..
Задачи на вычисление и упрощение выражений
Пример 1 – вычислить:
.
Пример 2 – сократить дробь:.
Чтобы сократить заданную дробь, нужно разложить знаменатель на множители:
.
В результате преобразований получили дробь:.
Данный ответ справедлив при условии, что, иначе дробь не имеет смысла.
Сделаем некоторые замечания:
Призаменадопустима,(по определению степени с положительным рациональным показателем).
Пример 3 – сократить дробь:.
ОДЗ:.
В данном случае для разложения нужно применить другую формулу сокращенного умножения и разложить числитель:
.
В результате преобразования получили дробь:.
Ответ справедлив в том случае, если m и n одновременно не равны нулю, данный факт часто записывают следующим образом:.
Решение уравнений
Пример 4 – упростить выражение:.
Несложно заметить, что произведение второй и третьей скобок можно свернуть по формуле разности квадратов:.
В результате преобразования получили произведение двух скобок, которое также можно свернуть по формуле разности квадратов:
.
Отметим, что в данном случае значения а ограничены:(по определению степени с рациональным положительным показателем).
Пример 5 – решить уравнение:.
Скобка – это конкретное число, не зависящее от х, имеем право на нее сократить и получить, но только в том случае, если выражение в скобках не равно нулю. Проверим:
.
В результате преобразований получили скобку:.
Пример 6 – решить уравнение:
а).
Возводим уравнение в куб:.
б)
Ответ:.
в)
Ответ:.
Пример 7 – решить уравнение:.
При решении данного уравнения следует не забыть про область определения и ввести замену переменных:,.
После введения замены получили уравнение:.
Решаем полученное квадратное уравнение любым удобным способом, например по теореме Виета:.
Первый корень не входит в ОДЗ, остается корень, отсюда находим ответ:.
Пример 8 – решить уравнение:
а)
Ответ:.
б)
.
Ответ:.
в)
.
Ответ:.
Итак, мы рассмотрели различные типовые задачи со степенями и радикалами, на следующем уроке мы перейдем к изучению степенных функций.
Список литературы
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 438, 439, 444.
Сократить дробь:
Упростить выражение: