10. Зависимость случайных величин. Базовый уровень

Зависимые и независимые случайные величины

Если мы ставим чайник на огонь, то температура в чайнике зависит от вполне понятных нам условий — начальной температуры, количества воды, интенсивности огня, прошедшего времени (см. рис. 1).

Температуру в таком случае мы можем вычислить заранее, и она не является для нас случайной.

Конечно, у любой модели есть ограничения, все факторы учесть невозможно, но мы можем вычислить температуру чайника с достаточной точностью.

Температура воздуха на улице тоже определяется конкретными причинами, но для обычного человека они настолько сложно устроены и не очевидны, что эта величина для нас с вами уже очень похожа на случайную (см. рис. 2).

Часто нас интересуют не просто случайные явления или величины, а связь двух или более явлений одновременно.

Для наших давних предков неудача во время ловли рыбы и появление на другом берегу человека из другого племени были очень даже связаны, что могло привести к войне (см. рис. 3).

Для средневекового человека связь между появлением кометы и последующим мором (эпидемией) могла представляться очень важной, так как на основе наблюдения за одним явлением (кометой) можно делать выводы относительно другого — например, что пора уезжать из города (см. рис. 4).

Связь между датой рождения, расположением планет и удачной покупкой до сих для многих людей остаётся фактом, о чём свидетельствуют многочисленные гороскопы, хотя никаких намёков на научное доказательство такой связи не существует (см. рис. 5).

Некоторые величины, очевидно, являются независимыми.

Результат броска кубика первый раз никак не влияет на результат второго броска. Но даже тут люди умудряются ошибаться и из независимых величин делать зависимые.

Если пять раз подряд выпал орёл, то зачастую люди склонны думать, что шестой раз решка выпадет с большей вероятностью, ведь очень низка вероятность шести орлов подряд.

Нужно не путать две ситуации. Одно дело, если вы хотите оценить вероятность того, что сейчас из шести бросков все 6 раз выпадет орёл. Такая вероятность действительно крайне мала (мы знаем, что она равна ). Это так называемая безусловная вероятность — нет никаких дополнительных условий.

Другое дело, если вы оцениваете вероятность выпадения орла после пяти бросков, в результате которых выпал орёл. Если монета нормальная (без смещённого центра тяжести и т. д.), то вероятность выпадения орла во время любого броска будет всегда , независимо от результатов предыдущих бросков — у монеты нет памяти.

На самом деле мы часто совершаем ошибки при определении зависимых и независимых событий. Подробнее об этом можно узнать из видео.

С другой стороны, есть очевидно зависимые величины. Вес и рост человека — стандартный пример. Сложно ожидать низкого веса при очень высоком росте (единичные примеры есть, но в общем количестве они не оказывают особого влияния на статистику).

При этом есть величины, про связь которых люди до сих пор спорят, несмотря на наличие убедительных научных доказательств.

Например, связано ли курение и продолжительность жизни. Хотя учёные и дают однозначный ответ на этот вопрос (см. рис. 6), не редкость рассказы про родственников-долгожителей, которые всё время курили и прожили 100 лет (такие же примеры приводят и про алкоголь, и про другие вредные привычки).

Здесь, даже если примеры таких долгожителей не выдумка, идёт подмена средней величины уникальным явлением. Это частая ошибка, которая используется для манипулирования информацией — это когда приводят один или несколько частных примеров, на основании которых делают обобщение о ситуации в целом.

Это частный случай так называемой ошибки выжившего. Так, многие успешные люди пишут книги со своими рецептами успеха.

Но нет никакой гарантии, что, в точности повторив их советы, вы также окажетесь успешными. Неуспешные люди, жившие по тем же принципам, книги о своих неудачах вряд ли напишут, и уж тем более вы вряд ли их прочитаете. Более подробно об ошибке выжившего вы можете узнать в ответвлении.

Ошибка выжившего

Термин «ошибка выжившего» используется при обработке данных и означает такую ситуацию, когда исследуемые объекты разделены на две группы. О первой группе данных много, она называется «выжившие». Во второй очень мало или вообще нет, она называется «погибшие». Ошибка заключается в том, что исследователь обладает данными только по первой группе, делает выводы о всём множестве объектов, игнорируя потерянную информацию о второй группе. Одно из первых высказываний, близкое по смыслу к описанию ошибки выжившего, сделал древнегреческий софист Диагор Мелосский (см. рис. 1).

По словам Цицерона, когда один из друзей Диагора убеждал его поверить в существование богов, указывая на множество изображений спасения людей, которые попадали в шторм и давали клятву богам совершить какой-либо обет, Диагор парировал: однако отсутствуют любые изображения тех, кто погиб в море в результате кораблекрушения. Аналогичное высказывание приписывают древнегреческому философу-кинику Диогену Синопскому (см. рис. 2).

Когда какой-то человек удивлялся обилию даров, принесённых в благодарность за исполнение обетов, Диоген замечал, что их было бы куда больше, если бы их приносили и те, кому не удалось спастись. Сам термин связан со Второй мировой войной. После выполнения боевых задач американские бомбардировщики возвращались с повреждениями от зениток и истребителей врага. В основном страдали крылья и корпус, почти не страдали топливные системы и двигатель. Военные предлагали укрепить дополнительной бронёй те места, на которых были повреждения. Математики, работавшие с этой задачей, объяснили, что всё как раз наоборот: если повреждения в крыле или хвосте, то самолёт, скорее всего, может вернуться. Зато попадание в двигатель или топливную систему фатальны. Конечно, враг попадал и в эти места тоже, и именно эти самолёты не вернулись на базу — они погибли. Анализ же проводился только на выживших самолётах. Таким образом, укреплять как раз надо те места, в которых попадания не нашли — именно такие попадания приводят к гибели самолёта.

Как другой яркий пример ошибки выжившего приводят рассказ о дружелюбии дельфинов. То, что дельфины толкают тонущего человека к берегу и поддерживают его на плаву, мы знаем со слов тех, кто добрался до берега и выжил, если кого-то толкали в обратном направлении — мы об этом не узнаем.

Утверждение, что старые фильмы более талантливые, чем современные, основывается на том, что до нас дошли только заслуживающие внимания произведения, а слабые фильмы просто оказались забытыми. Впечатление, что иностранное кино более интересное, чем отечественное, тоже может быть результатом ошибки выжившего. Для перевода иностранных фильмов на родной язык обычно выбирают те, что ожидаемо будут иметь успех, то есть там доступны только более удачные картины. А кино, сделанное изначально на родном языке, доступно всё — и интересное, и скучное.

Часто ошибку выжившего вызывают намеренно, когда описывают исключительно одну группу объектов, а другую игнорируют — как невыгодную. Яркий пример, который уже упоминали, — рецепт успеха. Пример успеха ярко описывается, неудачи просто игнорируется. Вывод из сказанного следующий: сбор данных — крайне важная часть исследования. Если не удаётся собрать данные о части объектов, то нужно это иметь в виду при дальнейшей обработке и построении выводов, то есть не допускать ошибки выживших.

Такая индукция ошибочна, поскольку любые частные примеры не могут достоверно свидетельствовать об общей статистике. Легко придумать такие примеры и в математике: можно привести сколько угодно простых чисел, но это не значит, что все натуральные числа — простые. Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют, имея закон совместного распределения случайных величин, выяснить, существует ли связь между этими явлениями и насколько она сильна, то есть посчитать её количественное выражение.

Очень важным здесь является тот факт, что в этом случае не нужно изучать саму физическую связь явлений, которая обычно во много раз сложнее вероятностной.

То есть математика позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии связи между явлениями, но не о причинах этого наличия или отсутствия.

Так, установлено, что люди с высшим образованием живут (в среднем) значительно дольше (см. рис. 7).

Версий для объяснения причин такой взаимосвязи очень много, но ни одну из них убедительно доказать на данный момент не удалось.

Совместное распределение

Если у нас есть законы распределения двух случайных величин по отдельности, то мы не можем понять — зависимы они или нет. Для начала исследования нам необходим закон их совместного распределения, который невозможно получить из отдельных законов каждой величины.

Например, глядя на два вот таких закона распределения, мы ничего не можем сказать о взаимной зависимости величин и .

Без дополнительной информации мы не можем построить закон совместного распределения.

Если окажется, что величина — это результат подбрасывания монеты, а — игрального кубика, то величины независимы, и закон выглядит следующим образом:

Все вероятности одинаковы и равны .

Если же — это выпадение чёта (0) или нечета (1) на том же самом кубике при том же самом броске, то величины зависимы, и совместное распределение выглядит иначе:

Половина клеток соответствует невозможным событиям — там вероятность ноль, в остальных вероятность .

Таким образом начинать мы можем, если у нас уже есть совместное распределение. На практике это обычно легко выполнимо. Мы наблюдаем сразу за двумя или большим количеством явлений и записываем частоты совместного появления их значений.

Например, мы измерили рост у 1000 взрослых людей с точностью до 1 см и выяснили у каждого, курит ли он. Например, нам встретилось 5 человек ростом 176 см и при этом курящих. Частота такого события равна , что мы и берём в качестве вероятности в соответствующей клетке на пересечении значений 176 и 1 (курит).

Когда заполним всю таблицу, сможем приступить к исследованию, существует ли связь между ростом взрослого человека и курением.

Рассмотрим совместное распределение двух случайных величин:

Сумма всех вероятностей должна быть равна единице. Это условие выполняется. Нам уже достаточно знаний, чтобы увидеть, зависимы ли эти величины или нет.

Найдём законы распределения каждой величины по отдельности, а также при условии, что одна величина приняла конкретное значение.

Величина принимает значения 2 в двух несовместных случаях, когда и . Складывая вероятности 0,1 и 0,2, получаем вероятность того, что (). То же самое касается остальных значений .

Таким образом, если мы сложим построчно вероятности в каждом столбце, то получим обычный закон распределения .

Найдём теперь закон распределения при условии, что . Для этого нам нужна формула условной вероятности:

.

Смотрим на первую строку.

Вероятность того, что равна сумме вероятностей в первой строке, то есть .

Вероятность совместного события и равна 0,2:

.

Делим вероятность совместного события на вероятность того, что , и получаем искомую условную вероятность — 0,4:

.

:

.

:

.

Таким образом, чтобы построить закон распределения при условии, что , мы делим значение в каждой клетке первой строки на сумму всех значений в этой же строке. Аналогично вычисляем остальные значения. Проверяем себя и складываем вероятности — получаем единицу.

Мы видим, что знание значения величины повлияло на закон распределения . Но это означает, что величины зависимы.

В качестве упражнения найдите законы распределения при условии, что , и три условных закона распределения при ,, и .

Чтобы описать степень зависимости одной случайной величины от другой, вводят такие величины, как ковариация и коэффициент корреляции.

Ученики профильного уровня могут ознакомиться с математическим определением этих величин и с примерами их расчёта. Остальным же достаточно понимать, что эти характеристики можно вычислить. При этом важно понимать, какие выводы можно сделать на основе этих вычислений.

Часто заманчивая простота корреляционного исследования подталкивает исследователя делать ложные интуитивные выводы о наличии причинно-следственной связи между парами признаков, в то время как коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи. Например, рассматривая пожары в конкретном городе, можно выявить весьма высокую корреляцию между ущербом, который нанёс пожар, и количеством пожарных, участвовавших в ликвидации пожара, причём эта корреляция будет положительной. Из этого, однако, не следует вывод, что «увеличение количества пожарных приводит к увеличению причинённого ущерба», и тем более не будет успешной попытка минимизировать ущерб от пожаров путём ликвидации пожарных бригад.

Корреляция двух величин может свидетельствовать о существовании общей причины, хотя сами явления напрямую не взаимодействуют.

Например, обледенение становится причиной как роста травматизма из-за падений, так и увеличения аварийности среди автотранспорта. В этом случае две величины (травматизм из-за падений пешеходов и аварийность автотранспорта) будут коррелировать, хотя они не связаны причинно-следственно друг с другом, а лишь имеют стороннюю общую причину — гололедицу.

В то же время отсутствие корреляции между двумя величинами ещё не значит, что между ними нет никакой связи. Например, зависимость может иметь сложный нелинейный характер, который корреляция не выявляет.

Список литературы

1. Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А. Математика. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. Углублённый уровень. — М.: Издательский центр «Вентана-Граф», 2019. — § 31.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1997. — Гл. XIV, § 1–2, 17–18.

3. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. — П. 5.1.

Домашнее задание

1) Дано совместное распределение двух случайных величин:

1. Найдите значение . 

2. Найдите законы распределения каждой величины по отдельности.

3. Найдите закон распределения при условии, что .

2) Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

Случайная величина . Найдите:

1. закон распределения случайной величины ;

2. совместное распределение двух случайных величин и .