Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей в более сложных случаях

На данном уроке мы вспомним понятие алгебраической дроби и основы работы с ней. Мы приступим к решению более сложных примеров, в которых не всегда нужно применять очевидные формулы, а иногда стоит задуматься и приступить к разложению совсем с другой стороны.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Напоминание материала из предыдущего урока

Напомним, что алгебраическая дробь есть отношение многочленов:

В предыдущем уроке мы провели аналогию между алгебраической дробью и арифметической дробью. Напомним:

– результат разложения на множители числителя и знаменателя некоторой дроби;

Конкретно это была дробь

Сократим заданное выражение:

Заменим числа переменными получим:

Напомним, что основная задача при работе с алгебраическими дробями – разложить числитель и знаменатель на множители и если появится такая возможность сократить общие множители.

Решение примеров

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

Преобразуем числитель с помощью формулы разности квадратов:

Сократим появившийся общий множитель:

В результате деления двучленов получен двучлен, который мы расписали по формуле разности кубов и получили его разложение на множители;

Пример 2:

Разложим на множители числитель и знаменатель. В знаменателе в явном виде стоит формула квадрата суммы, а в числителе под квадратом стоит разность квадратов:

Раскроем квадрат в числителе, для этого каждый множитель возведём в квадрат:

Сократим общий множитель:

Решение вычислительных задач

Пример 3. 

Упростить дробь и вычислить ее значение при :

Разложим на множители числитель и знаменатель:

Сократим общий множитель:

Подставим значение и вычислим значение дроби:

Пример 4.

Упростить дробь и вычислить её значение при :

Применим к числителю формулу разности квадратов, а к знаменателю формулу квадрата суммы:

Подставим значениеи вычислим:

Решение более сложного примера с применением метода группировки

Пример 5.

Разложить на множители:

Применим способ группировки для разложения числителя и знаменателя:

Сократим общий множитель:

Выводы по уроку

В данном уроке мы вспомнили, что такое алгебраическая дробь и каковы основы работы с ней. Мы научились решать сложные примеры и закрепили навыки решения заданий с алгебраическими дробями.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

1. Задание 1: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 446, ст.152;

2. Задание 2: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 447, ст.152;

3. Задание 3: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 448, ст.152.