07. Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей

На данном уроке мы сформируем понятие и дадим определение алгебраической дроби, проведём многочисленные аналогии с арифметической дробью, решим много примеров различной сложности на сокращение алгебраических дробей.

При делении числа 8 на число 4 мы получаем целое число 2:

Но при делении числа 8 на число 5 мы получаем уже не целое число, поэтому такое выражение называем арифметической дробью:

При делении некоторого одночлена на другой одночлен мы получаем третий одночлен:

Но при делении того же самого одночлена на другой одночлен мы не получаем одночлен, а получаем выражение, называемое алгебраической дробью:

Итак, при делении различных одночленов мы можем получить результат в двух видах: в виде одночлена или в виде алгебраической дроби ― аналогично целым числам, когда в результате деления целого числа на целое число мы можем получить третье целое число либо арифметическую дробь.

Такая же ситуация возникает при делении многочлена на одночлен:

в результате деления получен многочлен;

в результате деления получена алгебраическая дробь.

Обратим внимание, что целые числа, одночлены и многочлены также можно рассматривать как алгебраическую дробь в виде выражения, делённого на единицу.

Алгебраическая дробь ― это деление одного многочлена на другой многочлен: , где ― числитель дроби, ― знаменатель дроби. Данные многочлены можно преобразовывать, раскладывать на множители любыми известными нам методами. Дробь можно сокращать на общие множители, то есть упрощать исходную дробь, так же как мы делали с арифметическими выражениями. Рассмотрим пример.

Пример 1:

Чтобы упростить данное выражение, нужно разложить числитель и знаменатель на простые множители:

Теперь можно сократить на общий множитель:

Итак, при работе с арифметическими дробями для упрощения выражения мы и числитель, и знаменатель разложили на простые множители, опираясь на основную теорему арифметики о разложении составных чисел на простые множители, после чего сократили общие множители.

По аналогии действия с алгебраическими дробями заключаются в следующем: нужно и числитель, и знаменатель разложить на множители, а после этого, если есть возможность, общие множители сократить. Рассмотрим примеры.

Пример 2:

В результате деления одночленов получен новый одночлен.

Пример 3:

В результате деления одночленов получена алгебраическая дробь.

Пример 4: 

Разложим числитель и знаменатель на множители:

В результате деления многочленов получена алгебраическая дробь.

Пример 5:

Раскладываем числитель и знаменатель на множители методом вынесения общего множителя:

Применим в знаменателе формулу разности кубов:

Сократим общий множитель:

В результате деления многочленов получена алгебраическая дробь.

Пример 6:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Сократим общие множители:

В результате деления многочленов получена алгебраическая дробь.

В данном уроке мы изучили новое понятие ― алгебраическая дробь, и сравнили её с уже известной нам арифметической дробью. Мы также решили много различных примеров на сокращение алгебраических дробей.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобр. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др.; под ред. С. А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2018–2020.

2. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобр. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др.; под ред. С. А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2018–2021.

3. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобр. учреждений / Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова и др. — М.: Просвещение, 2018–2021.

Полезные ссылки

1. Алгебраические дроби

2. Сокращение дробей. Правила

3. Рациональные (алгебраические) дроби

Проверьте себя

1. Сократите дробь .

2. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её: .

3. Упростите выражение и найдите его числовое значение:
   при .