01. Числовые и алгебраические выражения, математические модели

На данном уроке мы вспомним, что такое алгебраическое и числовое выражение, вспомним основную типовую задачу – упрощение выражений. Кроме того, мы решим несколько текстовых задач, в которых вспомним метод математического моделирования.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Напоминание теоретических сведений

Напомним, что числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий. Если же вместо чисел употребляют буквы, то получают алгебраическое выражение. Важнейшая типовая задача и для числовых, и для алгебраических выражений – это упрощение. Рассмотрим пример.

Решение примера на упрощение выражения

Пример 1:

Первым действием является сложение в скобках. Но выполнять сложение сразу не очень удобно, так как в первой скобке стоят не самые простые десятичные дроби, поэтому нужно подумать, как удобнее выполнить данное действие. Несложно заметить, что при сложении первого числа с третьим получится круглое число, как и при вычитании из второго числа четвёртого. Выполним действие:

Таким образом, наше выражение теперь выглядит так:

Теперь выполним вычитание дробей во второй скобке, напомним, что для этого дроби нужно привести к общему знаменателю. Пользуясь основным свойством дроби, умножим числитель и знаменатель первой дроби на три:

Перепишем исходное выражение:

Далее упростим числитель, в котором теперь число умножается на дробь, напомним, что при этом число умножают на перевёрнутую дробь, и, если есть возможность, выполняется сокращение дроби:

Исходное выражение приобретает вид:

Последнее действие – сократить полученную дробь, для этого выполним некоторые преобразования:

Но не всегда нам задано алгебраическое выражение, часто бывает нужно текстовую задачу перевести на математический язык и в результате получить необходимое выражение.

Пример 2: при каком значении выражение  в два раза меньше, чем

Итак, у нас есть два выражения и соотношение между ними. Составим уравнение:

По существу, мы получили математическую модель – линейное уравнение с одной неизвестной. Решим его:

Ответ: при  выражение  в два раза меньше, чем .

Решение текстовых задач

Пример 3: на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор ответил так: «Половина моих учеников изучает математику, четверть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении. Остальную часть составляют три девы». Сколько учеников было у Пифагора?

Примем количество учеников за причём , то есть является натуральным числом. Запишем количество учеников Пифагора: – те, которые изучают математику,– те, кто изучают природу,- те, кто проводят время в размышлении и  девы.

Найдём суммарное количество учеников Пифагора:

Таким образом, мы получили математическую модель – линейное уравнение с одной неизвестной. Найдём его корень:

Ответ: у Пифагора было учеников.

Напомним, что математическое моделирование включает три этапа – составление математической модели, работа с математической моделью, ответ на вопрос, поставленный в задаче.

Пример 4: спросил некто у учителя: «Скажи, сколько у тебя учеников, так как я хочу отдать тебе в ученье сына». Учитель ответил: «Если придут ещё столько же, сколько имею, и полстолько, и четвёртая часть и твой сын, то будет у меня сто учеников». Сколько было у учителя учеников?

Этап 1: пусть у учителя было учеников, причём – число натуральное; опишем количество учеников выражением:

Было  учеников, придёт ещё столько – то есть , ещё полстолько –, и четвёртая часть – и ещё , то будет . Запишем уравнение:

Математическая модель составлена.

Этап 2: приведём в левой части уравнения подобные члены, все свободные члены перенесём вправо и приведём подобные там, из элементарного уравнения найдём :

Разделим обе часть уравнения на 11:

Умножим обе части на 4:

Этап 3: в задаче спрашивалось, сколько учеников было у учителя, мы получили , за было принято количество учеников, таким образом, у учителя было учеников.

Выводы по уроку

На данном уроке мы вспомнили понятие числового и алгебраического выражения, выполнили пример на упрощение выражения, решили несколько текстовых задач методом математического моделирования.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Математическое моделирование.

Проверь себя

1. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 7, с. 11.

2. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 16, с. 16.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 41, с. 28.