08. Числовые и алгебраические выражения в математических моделях и задачах

Числовые и алгебраические выражения играют значительную роль в математическом языке при составлении математических моделей. Поэтому на этом уроке мы вспомним и выясним, каковы взаимоотношения между числовыми и алгебраическими моделями. Кроме того, разберём две основные типовые задачи и решим примеры по этой теме.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Введение

Вспомним, что если в арифметическом выражении одно или несколько чисел заменить буквенными переменными, то мы получим алгебраическое выражение.

Арифметическое выражение, алгебраическое выражение – это элементы математического языка. Они используются в математических моделях, и с ними связаны некоторые типовые задачи. Наиболее распространенные из них – это вычислительные задачи.

Вычислительные задачи

Суть вычислительной задачи: в буквенном выражении (в алгебраическом выражении) отдельным буквам или всем буквам дают определенные значения; в результате получаем арифметическое выражение, которое нужно вычислить.

Пример 1

Дано выражение:

;

;

;

Найти значение данного числового выражения.

Решение

Подставим вместо  и  их выражения соответственно.

Ответ: 1.

Пример 2

Дано выражение:

;

;

;

Вычислить значение алгебраического выражения при заданных значениях  и .

Решение

Подставим значения  и :

Ответ: .

Задачи на допустимое или недопустимое значение буквенных переменных

Следующая группа задач – это задачи на допустимое или недопустимое значение буквенных переменных. Ведь алгебраическое выражение может иметь в знаменателе разность, сумму и т. д.

И эта разность, сумма или что бы то ни было в знаменателе не должно быть равно нулю.

Пример 1

Найти множество значений буквенных переменных, при которых данное алгебраическое выражение имеет смысл (может быть вычислено).

Решение

Знаменатель этой дроби не должен быть равен нулю. Значит:

Значит, данная дробь существует, имеет смысл при всех значениях  и при всех значениях , кроме .

Ответ: .

Пример 2

Имеем дробь:

При каких значениях  дробь имеет смысл?

Решение

Знаменатель не должен быть равен нулю, значит:

Ответ: .

В следующем примере – две буквенные переменные.

Пример 3

При каких значениях буквенных переменных данное выражение имеет смысл?

Решение

Ответ: .

Задачи на недопустимые значения переменных

Формулировка следующей стандартной группы задач: укажите хотя бы одну пару значений буквенных переменных, при которых выражение не имеет смысла.

Пример 1

Решение

Выражение не будет иметь смысла тогда, когда будет выполнено условие:  (в знаменателе дроби будет стоять 0).

Если присвоить переменным значение 1, то:

При этих значениях дробь не имеет смысла.

Ответ: ,.

Пример 2

Укажите хотя бы одну пару значений буквенных переменных, при которых выражение не имеет смысла.

Решение

Определим, при каком условии знаменатель дроби будет обращаться в 0.

Тогда если, например, , то знаменатель равен нулю и дробь не имеет смысла.

Ответ: ,.

Пример 3

Укажите хотя бы одну пару значений буквенных переменных, при которых выражение не имеет смысла.

Решение

Аналогично

При этих значениях выражение не имеет смысла.

Ответ: ,.

Перевод с русского языка на математический и наоборот

С числовыми и алгебраическими выражениями связаны две важные задачи, а именно: перевод с русского языка на математический и перевод с математического языка на русский.

Пример 1

Переведём.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Этот пример описывает «переместительный закон сложения», он справедлив для любых чисел  и .

Пример 2

Произведение не изменится от перемены мест сомножителей.

Задача 1

Произнести на русском языке «основное свойство дроби» и перевести его на математический.

Решение

Есть дробь . Дробь не изменится, если и числитель, и знаменатель умножить и разделить на одно и то же число .

, при ,

Задача 2

Произнести на русском языке «правило деления дробей» и перевести его на математический.

При делении двух дробей друг на друга нужно получить новую дробь, в числителе которой записать произведение числителя первой дроби и знаменателя второй, а в знаменателе новой дроби записать произведение знаменателя первой дроби и числителя второй. Ещё говорят так: чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевёрнутую вторую дробь.

Задача 3

Дано выражение:

Перевести на русский язык.

Решение

Отношение разности кубов двух чисел  и  к их утроенной сумме.

Текстовые задачи

Рассмотрим простейшую типовую задачу

Задача 1

Задумали число к нему прибавили семь, сумму утроили, из результата вычли и получили задуманное число. Найдите его.

Решение

Переводим на математический язык

1. Начнём с составления математической модели.

Пусть – это задуманное число.

– это и есть математическая модель.

2. Второй этап – работа с математической моделью. В данном случае это просто решение уравнения.

3. Третий этап – ответ на поставленный вопрос.

Было задумано число 13.

Ответ: 13.

А теперь шуточная задача, математический фокус.

Задача 2

Задумайте число. Никому не говорите, какое число вы задумали. Прибавьте к нему и отнимите половину задуманного, к результату прибавьте отнимите половину задуманного, далее отнимите В результате всех действий будет число Откуда это известно?

Решение

Пусть задуманное число –.

Почему же так? Потому что мы от начального  два раза отняли по половине, т. е.

Такой вот простой математический фокус.

Итоги урока

Итак, мы подтвердили, что арифметические и алгебраические выражения широко используются в математических моделях и задачах, являются важными элементами, средствами математического языка. Эти средства должны постоянно расширяться и пополняться.

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. – 6 изд-е. – М.: Просвещение, 2010.

4. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Интернет-сайт «ЕГЭ? Сдам!».

Проверь себя

1. Найдите все допустимые значения переменных в выражениях:

1) 

2) 

3) 

2. Иван задумал число. Сначала он прибавил к нему затем полученную сумму уменьшил вдвое и от результата отнял Какое число задумал Иван, если в итоге он получил число

3. Запишите на математическом языке:

1) Произведение суммы чисел  и  на их разность.

2) Отношение суммы кубов чисел  и  к их удвоенной разности.

3) Утроенный куб суммы чисел  и .