01. Числовые и алгебраические выражения (В. А. Тарасов)

В данном уроке будет рассмотрено понятие алгебраических выражений. В их состав входят буквенные переменные, которые могут принимать разные числовые значения. Поэтому для правильного решения алгебраических выражений необходимо ориентироваться в действиях с числовыми.

При решении алгебраических выражений буквенные переменные не всегда принимают произвольное значение. В таких случаях появляются понятия допустимые значения букв и недопустимые значения букв.

Понимание данной темы позволит совершать базовые действия с алгебраическими выражениями, а также укрепит навыки решения числовых примеров.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Решение числовых выражений

Числовые выражения – это те выражения, которые составлены из чисел и знаков арифметических операций – сложения, вычитания, умножения, деления.

Пример 1

.

Это числовое выражение, которое необходимо упрощать.

Рассмотрим ещё несколько примеров числовых выражений.

Решение простых алгебраических выражений

Пример 2

,

,

.

При замене некоторых чисел буквами образуется алгебраическое выражение. При замене двух чисел буквой получается выражение. Первое слагаемое – это , второе слагаемое – это . В результате образуется алгебраическое выражение. В этом алгебраическом выражении буквенные переменные (так как они могут принимать разные значения) обозначают различные числа. Числа могут быть целыми, дробными, положительными, отрицательными. Таким образом, алгебраические выражения базируются на работе с числовыми выражениями.

Правило: от перемены мест слагаемых сумма не меняется – справедливо для чисел 4 и 5, для чисел 6 и 1. Если обобщить этот закон для всех чисел, то его можно записать в алгебраическом виде: обозначим первое слагаемое - , второе – . В результате получаем:

.

Значит данное правило применимо для алгебраических выражений.

Получаем, что для алгебраических выражений числовые выражения являются частным случаем. Поэтому действия с числовыми выражениями применимы и к алгебраическим выражениям. Рассмотрим несколько примеров на числовые выражения.

Пример 3

.

Решение:

Проведём группировку: сложим первое число с третьим, а второе с четвёртым.

.

В результате получаем:

.

Ответ: .

Примеры решения алгебраических выражений при заданных значениях переменных

Пример 4

Найти значение выражения  при:

1) , ;

2) , ;

3) , .

Решение:

Это выражение является алгебраическим. В данном случае число  и число  – буквенные переменные, которые могут принимать любые значения. Значит, необходимо вычислить данное алгебраическое выражение при некоторых, конкретных заданных значениях буквенных переменных – это одна из стандартных задач для алгебраических выражений.

Подставим значения переменных, получим числовое выражение и вычислим его.

1. .

   Ответ: .

2. Поступаем аналогично, подставляя вместо буквенных переменных их численные значения:

   .

   Ответ: .

3. Аналогично: .

   Ответ: .

Примеры решения числовых выражений преобразованием в алгебраические

Повторим основные действия с числовыми выражениями для дальнейшего решения алгебраических примеров.

Пример 5

Найти значение выражения:

.

Решение:

Обозначим все, что стоит в первой скобке за  (буквенная переменная состоит из конкретных числовых данных). Второе выражение обозначим за , а все, что стоит в знаменателе, обозначим за .

Все искомое выражение обозначим за .

Для вычисления , необходимо сначала вычислить , разделить его на  и разделить на :

.

Перегруппируем слагаемые в выражении :

.

Найдём значение второй скобки:

.

Вычислим значение :

.

Найдём значение начального выражения:

.

Ответ: .

При решении мы пользовались правилами порядка арифметических действий, а также правилами: от перемены мест слагаемых сумма не меняется (); от перемены мест множителей произведение не меняется ().

Примеры на нахождение допустимых и недопустимых значений переменных

Особенностью алгебраического выражения является то, что не всегда буквы могут принимать произвольное значение. Есть такое понятие – допустимые значения букв и недопустимые значения букв. Рассмотрим на конкретном примере:

Пример 6

Найти допустимые и недопустимые значения :

.

Решение:

Данное выражение является арифметическим. В соответствии с алгебраическими законами данное выражение не имеет недопустимых значений, так как любое число можно возвести в квадрат.

Ответ: – любое.

Пример 7

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения .

Решение:

Так как на ноль делить нельзя (а на остальные числа можно), то допустимыми значениями  являются любые числа, кроме : .

Ответ: .

Пример 8

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения .

Решение:

Для решения опять необходимо учесть, что знаменатель не может равняться , так как на  делить нельзя:

.

.

Ответ: .

Пример 9

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения

.

Решение:

Знаменатель не может равняться , так как на  делить нельзя:

.

.

Ответ: .

Пример 10

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения

.

Решение:

Знаменатель не может равняться , так как на  делить нельзя:

;

;

;

.

Ответ: .

Необходимо запомнить, что если выражение стоит в знаменателе, то оно не должно быть равно . Это накладывает определённые ограничения на значения буквенной переменной. Рассмотрим ещё один пример на нахождение допустимых и недопустимых значений переменной.

Пример 11

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения: .

Решение:

Знаменатель не должен быть равен :

.

Значит:  или .

Ответ: .

Мы рассмотрели числовые и буквенные выражения. Кроме того, мы рассмотрели связь между числовыми и буквенными выражениями. Также на данном уроке были озвучены правила работы с арифметическими выражениями, которые остаются верны и для алгебраических.

На следующем уроке мы повторим правила работы с числовыми выражениями и с натуральными числами.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

№ 5-7 стр. 10-11. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

1. Найти значение выражения:
   а)  при ; .
   б)  при ; ; .
   в)  при ; ; .

2. Найти недопустимые значения выражений:
   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) .