02. Числовые выражения; действия с натуральными числами (В. А. Тарасов)

В данном уроке будут рассмотрены основные числовые множества, знание которых необходимо для дальнейшего изучения алгебраических выражений. К основным числовым множествам относятся множества натуральных, целых и рациональных чисел. Будут разобраны действия с натуральными числами. В соответствии с основной теоремой арифметики любое составное натуральное число однозначно разлагается в произведение простых чисел. Дальнейшее решение заданий на наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное будет базироваться на данной теореме. Также будут показаны примеры использования НОД и НОК и решены задачи на эту тему.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Числовые множества

Множество натуральных чисел – множество чисел, которые применяются для счёта предметов. Натуральные числа можно использовать в качестве номеров. Единица – наименьшее натуральное число. Данное множество обозначается буквой и имеет вид:

Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, целых отрицательных чисел, ноля и обозначается буквой .

В множество рациональных чисел включается множество целых чисел и дробные числа. В общем виде это множество записывается как . Также следует отметить, что целые числа можно считать частным случаем дробных чисел. Например, число , а это дробь. Множество рациональных чисел обозначается буквой .

Простые и составные натуральные числа

Подробно рассмотрим множество натуральных чисел. В натуральных числах различают простые числа и составные. Простые числа – это числа, которые имеют два делителя. Например, числа и т. д. делятся на себя и на В свою очередь, единица не является простым числом, потому что она делится только на себя, имеет только один делитель.

Основная теорема арифметики

Основная теорема арифметики гласит, что любое составное натуральное число однозначно разлагается в произведение простых чисел.

Пример 1: разложить число на простые числа.

Решение: ,– это произведение .

Значит, составное число однозначно разложилось в произведение простых множителей.

Пример 2: разложить число на простые числа.

Решение: .

.

Наибольший общий делитель

Рассмотрим понятия  и  чисел.

НОД – наибольший общий делитель двух чисел. НОД двух целых чисел  и , одновременно не равных нулю, называется такое наибольшее целое число , на которое  и  делятся без остатка. Этот факт обозначается так: . Если оба числа равны нулю, то положим .

Пример 3: Найти .

Решение: Разложим и на простые числа.

;

.

Необходимо определить общие делители и (из простых чисел), их произведение будет .

.

Ответ: .

Наименьшее общее кратное

НОК – наименьшее общее кратное двух чисел. НОК двух целых чисел  и  называется наименьшее положительное целое число, кратное как , так и .

Пример 4: найти .

Решение: Используем основную теорему арифметики для решения данной задачи.

Разложим и на простые множители.

;

.

Общие делители: и : и

Ответ: .

Пример использования НОК

Для того, чтобы понять, где применяются НОД и НОК рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Найти значение .

Решение: Для того, чтобы привести дробь к общему знаменателю необходимо найти .

.

Значит, .

Найдём дополнительные множители.

Дополнительный множитель ;

Дополнительный множитель ;

Значит, .

Ответ: .

Пример использования НОД

Пример 6: Найти значений .

Решение: Основное свойство дроби заключается в том, что числитель и знаменатель можно разделить или умножить на одно и то же число. Найдём это число из разложения по основной теореме арифметики.

.

Числитель и знаменатель можно сократить на и на .

Ответ: .

Примеры решения задачи 1 на НОК и НОД

Пример 7. Решите задачу.

В классе каждый человек получил по подарку. Подарки состояли из апельсинов и яблок. Для подарков закупили апельсина и яблока. Каждому ученику в классе раздали одинаковый подарок и потратили все апельсины и все яблоки.

Вопрос 1: сколько учеников в классе? Вопрос 2: Сколько в каждом подарке было апельсинов, сколько в каждом подарке было яблок?

Решение.

Разложим на произведение простых множителей .

Точно так же поступим с числом яблок.

.

Необходимо найти число учеников в классе и из чего состоит каждый подарок.

Найдём .

.

Значит, в классе учится ученик.

Найдём, из чего состоял каждый подарок.

Количество апельсинов: .

Количество яблок: .

Ответ:  В классе учится ученик. В каждом подарке было апельсина и яблока.

Примеры решения задачи 2 на НОК и НОД

Пример 8. Решите задачу.

Шаг Володи ., а шаг Кати . Первый шаг они сделали в ногу, а потом у них разное число шагов. На какой расстоянии они сделают следующий шаг в ногу?

На каком наименьшем расстоянии они сделают по целому числу шагов?

Решение:  Найдём .

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, мы, согласно основной теореме арифметики, раскладываем эти числа на простые множители.

;

;

.

Ответ на вопрос: .

Найдём количество шагов, которое сделает каждый на данном расстоянии.

Володя сделает = шага.

Катя сделает =  шагов.

Ответ: Катя и Володя следующий шаг сделают на расстоянии см, для этого Володя сделает шага, а Катя – шагов.

Итак, мы рассмотрели основные числовые множества. Именно из этих множеств буквенные переменные принимают свои числовые значения. Мы вспомнили, что такое натуральные числа, что такое целые числа, что такое дробные числа. Основное внимание мы уделили натуральным числам. В натуральных числах мы вспомнили, что такое простые множители. Это те множители, которые делятся только на себя и на единицу. И вспомнили основную теорему арифметики, согласно которой каждое составное число однозначно раскладывается в произведение простых множителей. Вспомнили важные понятия НОД и НОК и типовые задачи на них.

На следующем уроке мы повторим числовые выражения и действия с дробными числами.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «Studlab.com - Студенческая лаборатория».

Проверь себя

1. Найдите НОК следующих чисел:

2. Найдите НОД и НОК чисел наиболее удобным способом .

а) и ;                

б) и ;                 

в)и ;                    

г) и ;

д) и ;

е) и .

3. Из речного порта одновременно 1 марта 2013 года вышли два теплохода. Продолжительность рейса одного из них – 15 суток, а продолжительность рейса второго – 24 суток. Через сколько дней теплоходы снова одновременно отправятся в рейс? Сколько рейсов за это время сделает первый теплоход ? А сколько второй?

4. Найти числа и , если известно, что ,.

Найти числа и , если известно, что ,.

Найти числа и , если известно, что ,.

Найти числа и , если известно, что ,.

Найти числа и , если известно, что ,.