05. Математическая модель

На этом уроке мы узнаем, что такое математическая модель, как и где она используется, а также научимся составлять математические модели для различных задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Введение

Всегда, когда мы передаём какую-то информацию, мы её упрощаем. Передаём не всё, а только самое важное. Когда мы говорим «я сижу за столом», то не описываем, из чего сделан стол, цвет и высоту стола. Мы упрощаем ситуацию. Мы можем нарисовать что-нибудь, например сделать чертёж детали. Это тоже упрощение.

Когда мы хотим решить какую-то задачу, найти какую-нибудь величину, мы тоже упрощаем. Заменяем реальные объекты числами (геометрические фигуры). В таком случае говорят, что мы строим математическую модель.

Пример математической модели

В одной вазе яблока, во второй . (См. Рис. 1.) Сколько всего яблок в двух вазах?

Если вы ответили , значит, вы уже успели построить математическую модель и с её помощью решить задачу.

Без модели эта задача решается так. В одной вазе яблока, во второй . Складываем их вместе и пересчитываем. (См. Рис. 2.)

Но мы поступаем не так. Все яблоки разные (разного цвета, сорта), но нас интересует только их количество. Поэтому яблоки в обеих вазах мы заменяем числами и . Теперь нам не надо складывать яблоки вместе, а остается сложить только числа.

Это и есть математическая модель, математическое упрощение действительности.

Нам осталось сложить числа  и . Получить .

Действия мы произвели с моделью, но выводы сделали относительно реальной ситуации. Всего яблок

.

Кроме того, что модель упростила решение, мы с помощью неё решили сразу много реальных задач. Например, в одном дворе машины, во втором (см. рис. 3). Сколько всего машин? Та же самая модель даёт ответ: .

В одной комнате  человека, в другой (см. рис. 4). Всего  человек.

Как решать задачи

Чтобы решить какую-то задачу, обычно поступают так:

Переходят от реальной ситуации к модели. Решают модель по некоторому алгоритму. Возвращаются от модели к реальной ситуации.

Построение моделей

В нашей жизни мы постоянно сталкиваемся с моделями:

План зрительного зала (см. рис. 5) – это модель настоящего зала. Она упрощает задачу – найти наше место.

Ту же самую функцию выполняют карта страны или мира (см. рис. 6).

• Когда мы идём по улице и смотрим на номера домов, то понимаем, что -й дом будет после -го и -го (см. рис. 7).

Мы это понимаем, потому что в голове у нас есть модель – натуральные числа и порядок, в котором они расположены.

Применение математической модели в жизни

Рассмотрим пример, как удачная математическая модель помогла решить задачу, которую люди не могли решить очень долго.

В городе Кёнигсберге (сейчас Калининград) было  мостов (см. рис. 8).

Жители пытались понять, можно ли гулять так, чтобы пройти по всем мостам, но ни по какому не проходить два раза.

Много лет они не могли решить эту задачу.

Когда над ней стал думать Леонард Эйлер, то понял, что здесь много лишней информации, которая отвлекает. Он решил упростить задачу, сделать математическую модель.

Участки суши он стал сжимать до тех пор, пока они не превратились в точки. А мосты превратил в линии, которые соединяют эти точки (см. рис. 9).

Задача теперь выглядит так – можно ли нарисовать такую фигуру (она называется граф), не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни по какой линии дважды (см. рис. 10).

Ответ оказался отрицательным. Нельзя. Значит, и по всем мостам нельзя пройти ровно один раз.

Кому интересна эта задача – наберите в поисковике «мосты Эйлера» и найдёте подробное описание. Там же будет рассказ о теории графов.

Уравнение в математической модели

Очень часто математическая модель содержит уравнение. Уравнение – это аналог реальной ситуации, когда объект неизвестен, но кое-что мы про него знаем.

Например, сыщик Шерлок Холмс знает, что у преступника рыжая борода, что он хромает на правую ногу и ему больше  лет. Вот это уже и есть уравнение, которое Холмс пытается решить.

Математическое уравнение возникает, когда нам неизвестна некая величина, но мы знаем про неё какие-то факты.

Задача. В двух вазах  яблок, причём в одной на  больше, чем в другой. Сколько яблок в каждой вазе?

Решение. Для решения этой задачи мы составляем математическую модель.

От яблок мы переходим к числам. Яблоки в каждой вазе мы заменяем числом (количеством).

Так как нам неизвестно количество яблок в одной вазе, то мы вводим переменную .

В одной вазе  яблок, во второй на  больше, т. е. . Тогда всего яблок:

Вот мы и построили математическую модель. Мы не думаем больше о яблоках, а только о том, как решить это уравнение.

Корень уравнения , тогда .

Мы решили модель.

Теперь возвращаемся к реальной ситуации и получаем ответ:  – это количество яблок в первой вазе и – во второй.

Задача

Кирпич весит килограмм и ещё полкирпича. Сколько весит кирпич? 

Эта задача нацелена на то, чтобы вы быстро дали неправильный ответ. Конечно же, ответ «полтора килограмма» неверный. А потом, когда рассказчик вам даст правильный ответ, вы должны восхититься этим фокусом. На самом деле восхищаться здесь нечем. Математическая модель даёт нам очень быстрое решение.

Решение.

1. С использованием математической модели.

Нам неизвестна масса кирпича. Обозначим её . Масса половины кирпича – это .

Тогда условие задачи мы переписываем в виде: .

Это и есть наша математическая модель.

Так как она сохраняет только важное для задачи, то здесь лишние слова нас не вводят в заблуждение и мы легко решаем эту смоделированную задачу (уравнение).

Итак,  – это решение нашей модели, уравнения. Решение задачи: масса кирпича –  кг.

2. Можно решить эту задачу и без математического моделирования.

Кирпич весит килограмм и ещё полкирпича. Кладём это всё на весы (см. рис. 11).

Кирпич мы можем расколоть на две половины (см. рис. 12).

Мы можем с обеих сторон убрать полкирпича (см. рис. 13).

То есть мы уже поняли, что полкирпича весит килограмм. Значит весь кирпич –  кг. Но здесь на последнем шаге мы снова применили математическую модель, а собирались без неё.

Доведём дело до конца по-честному. Раз полкирпича весит столько же, сколько гиря, то добавим слева полкирпича, а справа гирю (см. рис. 14).

Склеим снова кирпич (см. рис. 15).

Таким образом, масса кирпича –  кг.

Заключение

На этом уроке были разобраны понятие математической модели и способы её применения. Итак, математическая модель – это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка.

Список литературы

1. М. И. Башмаков. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014 – 224 с.

2. Гельфман Э. Г., Демидова Л. Н., Терре А. И. Алгебра. Практикум для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014 – 184 с.

3. Э. Г. Гельфман и др. Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013 – 264 с.

Проверь себя

1. Составь математическую модель данной ситуации: «Стоимость стакана мандаринового сока –  руб., а стакана виноградного сока –  руб. Известно, что стакана виноградного сока стоят столько же, сколько  стакана мандаринового сока».

2. В скелете новорождённого костей на  больше, чем в скелете взрослого человека. Вместе у них костей. Сколько костей у родителей младенца вместе, если у всех взрослых людей число костей в скелете одинаково?

3. У саранчи мышц в раза больше, чем у человека. На сколько у человека мышц меньше, чем у саранчи, если вместе у них мышц?