01. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно
14 мин
02. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки
25 мин
03. Разложение многочленов на множители. Способ группировки
28 мин
04. Способ группировки в более сложных задачах и уравнениях
34 мин
05. Разложение многочленов на множители в комбинации с формулами сокращённого умножения
26 мин
06. Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов
23 мин
07. Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей
20 мин
08. Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей в более сложных случаях
17 мин
09. Тождества
31 мин
10. Многочлены. Обзор
25 мин
01. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно
Видео доступно по абонементу
На предыдущих уроках мы раскладывали на множители числовые выражения. На этом уроке мы узнаем о разложении на множители буквенных алгебраических выражений, для этого вспомним распределительный закон. И с помощью различных примеров рассмотрим, где разложение на множители алгебраических выражений может быть применено.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».
Нам известно распределительное свойство умножения, которое называется распределительным\nзаконом. Выглядит этот закон следующим образом:
То есть существует сумма, которая преобразуется в произведение — это называется разложение на множители.
Распределительный закон справедлив и для вычитания, и для нескольких чисел:
Задание 1
Вычислите значение выраженияпри
РешениеДля вычисления значения данного выражения можно подставить известные нам числа и умножить на , затем умножитьна, далее полученные в результате умножения числа сложить:
Однако для упрощения вычисления значения данного выражения применим распределительный закон:
Таким образом, необходимо выполнить всего два действия — сложение и умножение:
Ответ:
С помощью разложения на множители можно доказывать, что некоторое буквенное выражение делится на число.
Задание 2
Докажите, чтоделится на
ДоказательствоДля доказательства необходимо разложить данное выражение на множители, при этом один из множителей в полученном выражении должен быть равен .
По свойству степеней:
Таким образом, данное в условие выражение можно представить в виде:
Вынесем общий множитель за скобку:
Данное выражение делится на так как один из его сомножителей равен Что и требовалось доказать.
Алгебраические\nдроби — дроби, у которых числитель и знаменатель могут быть алгебраическими выражениями (содержать в себе переменные).
Для сокращения таких дробей необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, сократив после этого общий множитель.
Задание 3
Сократите дробь:
РешениеДля выражений в числителе есть общий множитель который можно вынести за скобку. Также можно вынести за скобку и в знаменателе:
Следовательно, можно сократить данную дробь на :
Ответ:
С помощью разложения на множители можно решать весьма непростые уравнения, например уравнения в целых или натуральных числах.
Задание 4
Найти все пары целых и , таких, что , где
РешениеВынесем общий множитель в левой части уравнения за скобку:
Следовательно, в левой части данного уравнения находится произведение целых чисел, а в правой части единица.
Какие целые числа в произведении могут даватьЛибоналибонаПолучаем два случая:
а)
б)
Ответ: , .
Задание 5
Решите уравнение: где (и – натуральные числа).
РешениеВынесемиз первых двух слагаемых выражения в левой части уравнения:
Прибавим к обеим частям данного выражения число 2:
возьмём в скобки и умножим на 1:
Видно, что является общим множителем для левой части уравнения. Вынесем этот общий множитель за скобку.
Какие натуральные числа в произведении дают и либо и Первый вариант не подходит, так какинатуральные и каждая скобка будет большеСледовательно, если выражение , то , или наоборот, если , то .
Разберём два возможных случая:
а)
б)
Ответ:
На этом уроке мы познакомились с понятием разложения на множители алгебраических выражений. С помощью различных примеров мы узнали, где разложение на множители может быть применено.
Полезные ссылки
Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др.; под ред. С. А. Теляковского. — 15-е изд., перераб. — Москва: Просвещение, 2022–2027
Мордкович А. Г. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2009.
Мордкович А. Г., Н. П. Николаев. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. — Москва: Мнемозина, 2009.
Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. — Москва: Просвещение. 2010.
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е. и др. Алгебра 7. — Москва: Просвещение. 2006.
Проверь себя
Задания (стр. ) — Мордкович А. Г. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (см. список рекомендованной литературы).
Разложить многочлен на множители
Решите уравнение