04. Деление степеней с одинаковыми основаниями

На этом уроке мы изучим деление степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и теорему об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Далее мы сформулируем теорему о делении степеней с одинаковыми основаниями, решим разъясняющие задачи и докажем теорему в общем случае. Затем мы применим теорему для решения различных задач, а также решим типичные задачи с использованием обеих теорем.

Основные определения:

, , , ()

Здесь a - основание степени, n - показатель степени, - n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных и  справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остаётся неизменным.

Теорема 2. Для любого числа а, () и любых натуральных и  таких, что   справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остаётся неизменным.

Разъясняющие задачи

1) 

2) 

Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы № 2. Докажем её в общем случае, то есть для любого и любых натуральных и  таких, что .

Доказательство теоремы 2.

Первый способ.

Воспользуемся теоремой 1. Применим её для степеней  и .

. Разделим обе части на .

Второй способ.        

Доказательство основано на определении степени

Сократим сомножителей.

То есть  для любого () и любых натуральных и  таких, что .

Пример 1: Вычислить.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 2.

а)

б)

Пример 2: Упростить.

а) 

б) 

в) 

Пример 3: Решить уравнение.

а)  

,

б)  

,

Пример 4: Вычислить:

Для решения следующих примеров будем пользоваться обеими теоремами.

а) или быстрее

б) или быстрее

в) или быстрее

Пример 5: Упростить:

а) или быстрее

б)  

в)  или быстрее

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Testent.ru.

Проверь себя

Вычислить:

а)

б)

 Упростить:

а)

 б)

в)

Решить уравнение:

а)

б)

Вычислить:

а)

б)

в)

Упростить:

а)

б)

в)