10. Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Формулировка темы урока

Рассмотрим формулу квадрата суммы:

.

Выведение и доказательство формулы квадрата суммы

Итак, мы вывели формулу квадрата суммы:

.

Словесно эта формула выражается так: квадрат суммы равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Данную формулу легко представить геометрически.

Рассмотрим квадрат со стороной :

– площадь квадрата.

С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на и (рис. 1).

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

.

Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:

 .

Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.

Решение примеров на формулу квадрат суммы

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

.

Комментарий: пример решён с применением формулы квадрата суммы.

Пример 2:

.

Пример 3:

.

Выведение формулы квадрата разности

Выведем формулу квадрата разности:

.

Итак, мы вывели формулу квадрата разности:

.

Словесно эта формула выражается так: квадрат разности равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Решение примеров на формулу квадрат разности

Рассмотрим примеры:

Пример 4:

.

Пример 5:

.

Пример 6:

Формулы квадрата суммы и квадрата разности могут работать как слева направо, так и справа налево. При использовании слева направо это будут формулы сокращённого умножения, они применяются при вычислении и преобразовании примеров. А при использовании справа налево – формулы разложения на множители.

Рассмотрим примеры, в которых нужно разложить заданный многочлен на множители, применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Для этого нужно очень внимательно посмотреть на многочлен и определить, как именно его правильно разложить.

Решение примеров на разложение многочлена на множители

Пример 7:

.

Комментарий: для того, чтобы разложить многочлен на множители, нужно определить, что представлено в данном выражении. Итак, мы видим квадрат  и квадрат единицы. Теперь нужно найти удвоенное произведение – это . Итак, все необходимые элементы есть, нужно только определить, это квадрат суммы или разности. Перед удвоенным произведением стоит знак плюс, значит, перед нами квадрат суммы.

Пример 8:

.

Пример 9:

.

Комментарий: для решения данного примера нужно вынести минус за скобки, чтобы можно было увидеть нужную нам формулу.

Решение различных типовых задач на применение формул квадрата суммы и разности

Перейдём к решению уравнений:

Пример 10:

Комментарий: для решения данного уравнения нужно упростить левую часть, применяя формулу разности квадратов и квадрата разности, после этого привести подобные члены. После этого перенести все неизвестные в левую часть, а свободный член в правую и решить элементарное линейное уравнение.

Пример 11:

Вычислить:

.

Комментарий: для решения данного примера нужно применить формулы разности квадратов и квадрата суммы, после этого сократить полученную дробь.

Пример 12:

Доказать равенство:

.

Разложим на множители :

.

Из каждого множителя вынесем минус единицу за скобки:

Мы доказали равенство .

Данное равенство является очень полезным при упрощении выражений. Рассмотрим пример.

Пример 13:

Разложить на множители:

.

Пример 14:

Докажите, что квадрат всякого нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится на восемь.

Представим произвольное нечётное число как , а его квадрат, соответственно, как . Запишем выражение согласно условию:

.

Упростим полученное выражение:

.

Чтобы доказать, что полученное выражение кратно восьми, нам нужно доказать, что оно делится на и на Очевидно, что выражение кратно четырём, так как в нём есть множитель Поэтому нам нужно доказать, что  делится на

Запись – это произведение двух последовательных чисел, а оно всегда кратно двум, так как из двух последовательных чисел одно всегда будет чётным, а второе, соответственно, нечётным, а произведение чётного числа на нечётное кратно двум, значит, выражение  кратно восьми. Итак, мы доказали, что квадрат всякого нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится на восемь.

Выводы по уроку

На данном уроке мы вывели формулы квадрата суммы и квадрата разности и научились решать самые разнообразные задачи на применение этих формул.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 372, с. 135.

2. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 383, с. 135.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 384, с. 135.