01. Степень как частный случай многочлена
02. Приведение многочленов к стандартному виду. Типовые задачи
03. Сложение и вычитание многочленов. Типовые задачи
04. Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи
05. Умножение двучленов. Типовые задачи
06. Умножение трёхчленов. Типовые задачи
07. Умножение многочлена на многочлен
08. Умножение многочленов в текстовых задачах
09. Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии
10. Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности
11. Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов
12. Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов
13. Совместное применение формул сокращённого умножения
14. Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч. 1
15. Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч. 2
16. Геометрическая задача на параллелепипед с применением формулы сокращённого умножения
17. Деление многочлена на одночлен
Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов
Видео доступно по абонементу
На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращённого умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».
Выведение формулы разности кубов
При изучении формул сокращённого умножения мы уже изучили:
– квадрат суммы и разности;
– разность квадратов.
Выведем формулу разности кубов.
.
Наша задача – доказать, что при раскрытии скобок в правой части и приведении подобных слагаемых мы придём в результате к левой части.
Выполняем умножение многочленов:
Что и требовалось доказать.
Выражение называется неполным квадратом суммы, так как отсутствует двойка перед произведением выражений.
Выведение формулы суммы кубов
Определение
Разность кубов двух выражений есть произведение разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
Выведем формулу суммы кубов.
.
Выполняем умножение многочленов:
Что и требовалось доказать.
Выражение называется неполным квадратом разности, так как отсутствует двойка перед произведением выражений.
Задачи на упрощение выражений
Определение
Сумма кубов двух выражений есть произведение суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Пример 1 – упростить выражение:
.
Пусть и , имеем:
.
Это изучаемая формула – разности кубов:
.
Пример 2 – упростить выражение:
.
Пусть и , имеем:
.
Это изучаемая формула – суммы кубов:
.
Разложение на множители
Пример 3 – разложить на множители:
.
Несложно заметить формулу разности кубов:
.
Применяем изучаемую формулу:
.
Пример 4 – разложить на множители:
.
Несложно заметить формулу разности кубов:
.
Применяем изучаемую формулу:
.
Решение уравнений
Пример 5 – решить уравнение:
.
Пусть и , имеем:
.
Это изучаемая формула – разности кубов:
.
Пример 6 – решить уравнение:
.
Пусть и , имеем:
.
Это изучаемая формула – суммы кубов:
Вычислительные задачи
Пример 7 – вычислить при :
.
Пусть и , имеем:
.
Это изучаемая формула – разности кубов:
.
Подставим значение переменной:
.
Пример 8: докажите, что .
Доказательство.
Применим формулу разности кубов и разложим заданное выражение на множители:
.
Вторую скобку оставим без изменений, выполним вычисления в первой скобке:
.
Получили произведение чисел, содержащее множитель очевидно, что данное выражение кратно
Вывод: на данном уроке мы рассмотрели формулы разности и суммы кубов и их применение для различных типов задач.
Рекомендованная литература
Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.
Проверь себя
Задание 1 – упростить выражения: а) ; б) .
Задание 2 – разложить на множители: a); б) .
Задание 3 – № 882, 883 – Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7.