11. Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов

На данном уроке мы вспомним выученные ранее формулы сокращённого умножения, а именно квадрата суммы и квадрата разности. Выведем формулу разности квадратов и решим много различных типовых задач на применение этой формулы. Кроме того, решим задачи на комплексное применение нескольких формул.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Формулировка темы и цели урока и напоминание материала предыдущего урока

Напомним, что на предыдущем уроке мы рассмотрели формулы квадрата суммы и квадрата разности. Запишем их:

.

Вывод формулы разности квадратов

Выведем формулу разности квадратов. Выполним умножение двучленов по правилу:

.

Итак, .

Словесно данная формула выглядит так: разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность.

 мы называем разностью квадратов.

 мы называем квадратом разности, не следует путать два этих выражения.

Примеры прямого использования формулы и формулировка стандартной ошибки

Рассмотрим применение формул в типовых задачах. Начнём с задач на прямое применение формулы.

Пример 1: .

Примем  за , за , получим:

.

Распишем согласно формуле:

.

Перейдём к исходным переменным:

.

Стандартная ошибка: поменяем в скобке со знаком плюс слагаемые местами, получим:

.

Часто при такой записи путают, какой квадрат следует вычесть из какого:

.

Решение примеров на прямое применение формулы

Пример 2:

.

Комментарий: если возникают затруднения, можно, аналогично предыдущему примеру, заменить одно из выражений на , а второе на , чтобы легче было увидеть нужную формулу.

Пример 3:

.

Комментарий: в данном примере следует быть внимательными и не допустить типовую ошибку, описанную выше. Для этого удобно в первой скобке поменять слагаемые местами.

Перейдём к задачам на обратное применение формулы – разложение на множители.

Пример 4:

.

Комментарий: пример решён из определения разности квадратов. Нужно только определить, квадратом какого выражения является первый одночлен и второй.

Пример 5:

.

Пример 6:

Комментарий: в данном примере нужно несколько раз применить изучаемую формулу. Может быть задано из полученной в конце длинной формулы получить стандартный вид многочлена, тогда нужно постепенно перемножать скобки между собой и сворачивать выражение до простейшего.

Примеры на комплексное применение нескольких формул

Следующий тип задач – комбинированное применение нескольких формул.

Пример 7 – упростить:

Комментарий: в данном примере нужно применить две формулы: разности квадратов и квадрата разности, в полученном выражении привести подобные члены.

Пример 8:

.

Решение уравнений и вычислительных задач

Перейдём к решению уравнений.

Пример 9:

Рассмотрим вычислительные задачи.

Пример 10:

.

Пример 11:

.

Выводы по уроку

На данном уроке мы вывели формулу разности квадратов и решили много различных примеров, а именно уравнения, вычислительные задачи, задания на прямое и обратное использование выведенной формулы и другие. Кроме того, решили несколько задач на комплексное применение нескольких формул.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. Упростить: . Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 358, с. 130.

2. Разложить на множители: . Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 354, с. 129.

3. Вычислить: . Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 360, с. 130.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «studyport.ru».