14. Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч. 1

На данном уроке мы применим наши знания о многочленах и формулах сокращённого умножения для решения достаточно сложной геометрической задачи. Это позволит нам закрепить навыки работы с многочленами.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Введение

Формулы сокращённого умножения:

;

;

;

;

Ранее эти формулы мы применяли по отдельности в более сложных задачах, где в одном примере приходилось использовать сразу несколько формул. Теперь применим практически те же самые формулы, но в задачах более сложных. Сложность задач заключается прежде всего в том, что сами выражения и могут быть более сложными.

Пример 1

Упростите до стандартного вида:

Решение

Легко заметить, что можно возвести в квадрат результат произведения множителей:

В итоге внутри скобок мы получили выражение, которое можно упростить по формуле разности квадратов:

Осталось возвести выражение в квадрат по формуле квадрата разности:

Пример 2

Упростите:

Решение

Эту задачу можно решить двумя способами.

Первый способ:

Возведём в квадраты выражения и умножим стандартными методами.

Первый способ – стандартный, нам более интересен второй способ.

Второй способ .

Нетрудно заметить, что все скобки в выражениях похожи. Сделаем замену переменных.

Пусть:

Тогда перепишем наш пример следующим образом:

После замены переменных очевидно, что мы имеем дело с первой формулой сокращённого умножения – это полный квадрат разности.

Второй способ намного удобнее, но для его использования важно усмотреть возможность его использования. При должном навыке такие задачи решаются быстро и эффективно. А без должной практики советуем использовать замену переменных.

Ответ:

Задания для самостоятельного решения

1. Упростите: .

Для первого и второго слагаемых применять разные формулы сокращённого умножения.

2. Упростите: .

Решить двумя способами. Во втором способе выполните замену переменных:

;.

Получите выражение относительно  и , усмотрите полный квадрат и затем переходите к старым переменным.

Ответ: 1.; 2..

Пример 3

Решить уравнение: .

Решение 

Решить уравнение – значит найти такое значение , при подстановке которого в уравнение получится верное равенство.

Первый способ

Возведём в квадрат обе скобки.

Такое уравнение мы ещё решать не умеем. Это квадратное уравнение, и мы научимся решать его позже. Ищем второй способ.

Второй способ

Пусть: ,

Тогда мы получим:

Здесь видно, что мы имеем дело с формулой разности квадратов. А она позволяет разложить на множители.

Отсюда мы делаем вывод, что если результат равен нулю, значит, либо , либо .

Подставим исходные выражения:

Уравнение можно разложить на два простейших.

Ответ: ;

Задача для самостоятельного решения

Решить уравнение: .

Используйте разность квадратов.

Ответ: ;.

Рекомендованная литература

1. Мордкович А. Г. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. – 6 изд-е. – М.: Просвещение, 2010.

4. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. Разложите на множители .

2. Выполните умножение: .

3. Преобразуйте в многочлен: .