07. Формулы сокращённого умножения

На данном уроке мы вспомним формулы сокращённого умножения, их предназначение и смысл. Мы решим несколько примеров на закрепление материала.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Тема: Повторение курса алгебры 7-го класса

Урок: Формулы сокращённого умножения

Основные формулы сокращённого умножения

Вспомним предназначение и смысл формул сокращённого умножения. Ранее мы изучали и повторили достаточно трудоёмкую операцию умножения многочленов, её сложность заключается в том, что многочлен – это сумма одночленов, и для умножения нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. В результате получаем достаточно большой многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Формулы сокращённого умножения как раз упрощают операцию умножения многочленов.

Приведём некоторые формулы:

– квадрат суммы (разности);

– разность квадратов;

– разность кубов;

– сумма кубов;

 называют неполным квадратом суммы;

 называют неполным квадратом разности;

Отличие последних двух выражений от полного квадрата состоит в том, что в полном квадрате есть удвоенное произведение выражений, а в неполном – просто их произведение.

Упрощение выражений различной сложности

Чтобы вывести данные формулы, нужно перемножить скобки по правилу умножения многочленов, и мы увидим справедливость записанных равенств.

Упомянем типовые ошибки:

Считают, что – данное равенство неверно! Чтобы избежать подобной ошибки, выведем формулу квадрата суммы геометрически:

Рассмотрим квадрат со стороной :

– площадь квадрата;

С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на и :

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

.

Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:

Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.

Рассмотрим применение формул сокращённого умножения.  Они применяются в самых разнообразных задачах, и основная сложность заключается в том, чтобы увидеть, что есть и что есть . Очевидно, что никаких ограничений для и нет, то есть это могут быть любые выражения.

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

Очевидно, что перед нами квадрат разности, здесь ,, распишем по формуле:

Пример 2:

Очевидно, что перед нами разность квадратов, здесь ,, распишем по формуле:

Рассмотрим случаи, когда в одном выражении нужно применить несколько формул.

Пример 3:

Несложно заметить, что первые две скобки можно свернуть как разность квадратов:

Полученное выражение также представляет собой разность квадратов. Свернём его:

Пример 4:

Если не применять формулы сокращённого умножения, то умножение данных трёхчленов будет весьма трудоёмким, но мы все-таки обратим внимание, что первая скобка представляет собой квадрат разности, а вторая – квадрат суммы:

Теперь можем квадрат вынести за скобки, пользуясь соответствующим свойством степеней, ведь в квадрат возводятся оба выражения:

Очевидно, что в скобках стоит разность квадратов, свернём её по формуле:

Теперь можем легко раскрыть скобки по формуле квадрата разности:

Пример 5:

Непосредственное перемножение скобок будет очень трудоёмким, формулы сокращённого умножения резко сокращают процесс:

Первая пара скобок есть разность квадратов, свернём её:

Теперь снова первые две скобки можно свернуть по формуле разности квадратов:

И ещё раз можно увидеть формулу разности квадратов:

Последний раз свернём разность квадратов:

Доказательство кратности и уравнение

Существует обратная задача – разложить многочлен на множители, она решается также с помощью формул сокращённого умножения.

Пример 6: доказать что число  кратно 25:

Очевидно, что если мы будем выполнять все вычисления, это будет сложно и долго, но если заметить формулу, то работа значительно упрощается. Итак, мы видим разность кубов. Распишем выражение:

В результате преобразований мы получили выражение, один из множителей которого равен очевидно, что это выражение кратно

Пример 7: решить уравнение:

Напомним, что решить уравнение – означает найти такие значения которые обращают выражение в верное числовое равенство. Распишем в уравнении квадрат суммы и разность квадратов:

Соберём неизвестные слева, а свободные члены справа и приведём подобные:

Из полученного элементарного уравнения найдём значение :

,

Запишем ещё несколько формул, которые можно вывести: – куб суммы (разности)

Чтобы вывести данные формулы, нужно выполнить умножение скобок, и вы убедитесь в их справедливости.

Итоги урока

Вывод: мы рассмотрели формулы сокращённого умножения, записали вид основных из них и некоторые доказали. Мы рассмотрели примеры различной сложности, чтобы окончательно закрепить данный материал.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Uztest.ru.

Проверь себя

1. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 874, с. 165.

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 911, с. 171.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 937, с. 177.