01. Функция y = x² и её график

На данном уроке мы познакомимся с новой функцией  и её графиком, сформулируем свойства данной функции и рассмотрим элементарные типовые задачи.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Числовые функции» и «Функции».

Напоминание и формулировка новых теоретических положений

Ранее мы изучали другие функции, например линейную, напомним её стандартный вид:

отсюда очевидное принципиальное отличие – в линейной функции стоит в первой степени, а в той новой функции, к изучению которой мы приступаем, стоит во второй степени.

Напомним, что графиком линейной функции является прямая линия, а графиком функции , как мы увидим, является кривая, называемая параболой.

Начнём с того, что выясним, откуда появилась формула . Объяснение таково: если нам задан квадрат со стороной , то площадь его мы можем вычислить так:

Если мы будем менять длину стороны квадрата, то и его площадь будет изменяться.

Итак, приведена одна из причин, по которой изучается функция

Напомним, что переменная – это независимая переменная, или аргумент, в физической интерпретации это может быть, например, время. Расстояние это наоборот зависимая переменная, оно зависит от времени. Зависимой переменной или функцией называется переменная .

– это закон соответствия, согласно которому каждому значению ставится в соответствие единственное значение .

Любой закон соответствия должен удовлетворять требованию единственности от аргумента к функции. В физической интерпретации это выглядит достаточно понятно на примере зависимости расстояния от времени: в каждый момент времени мы находимся на каком-то конкретном расстоянии от начального пункта, и невозможно одновременно в момент времени t находится и в 10 и в 20 километрах от начала пути.

В то же время каждое значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

Построение графика функции

Итак, нам нужно построить график функции , для этого составить таблицу. Потом по графику исследовать функцию и её свойства. Но уже до построения графика по виду функции мы можем кое-что сказать о её свойствах: очевидно, что не может принимать отрицательных значений, так как

Итак, составим таблицу:

Формулировка свойств функции

По графику несложно отметить следующие свойства:

• Ось – это ось симметрии графика;

• Вершина параболы – точка ;

• Мы видим, что функция принимает только неотрицательные значения;

• На промежутке, где  функция убывает, а на промежутке, где  функция возрастает;

• Наименьшее значение функция приобретает в вершине, ;

• Наибольшего значения функции не существует.

Решение типовых задач

Пример 1

Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Решение: 

Поскольку по условию изменяется на конкретном промежутке, можем сказать о функции, что она возрастает и изменяется на промежутке . Функция имеет на этом промежутке минимальное значение  и максимальное значение

Пример 2

Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Решение:

изменяется на промежутке , значит убывает на промежутке  пока  и возрастает на промежутке  пока .

Итак, пределы изменения , а пределы изменения , а, значит, на данном промежутке существует и минимальное значение функции , и максимальное

Подведение итогов урока

Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента:

На этом рисунке мы видим, что значение функции, равное единице, достигается при двух значениях аргумента:

Вывод: в данном уроке мы познакомились с функцией , построили её график и сформулировали свойства. Мы также научились решать элементарные типовые задачи, на понимании которых будут базироваться более сложные задания.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Uztest.ru.

Проверь себя

Задание 1: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 486, с. 110.

Задание 2: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 487, с. 110.

Задание 3 – найти максимальное и минимальное значение функции :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .