03. Что означает в математике запись y = f(x)

На данном уроке мы разберёмся, в чём смысл записи, проведём обзор известных нам функций и их свойств и рассмотрим пример функции, заданной кусочно, для которой решим различные типовые задачи.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Числовые функции».

Объяснение смысла математической записи

Итак, в данном уроке мы должны разобраться, что означает в математике запись . Во-первых, она говорит о том, что задана независимая переменная иначе говоря, аргумент. Например, утром ученик вышел из дома в школу, пока он идёт, время идёт независимо от него, время – пример независимой переменной.

Кроме того, данная запись задаёт зависимую переменную – функцию. Возьмём тот же пример, когда ученик идёт из дома в школу, расстояние в этом случае будет зависимой переменной, так как через пять минут он пройдёт, например, метров, а через час километр, расстояние зависит от времени.

– это закон соответствия, по которому каждому значению – независимой переменной, ставится в соответствие единственное значение – зависимой переменной. Условие единственности значения функции для каждого значения аргумента объясним все на том же примере. В некоторый момент времени ученик находится на расстоянии метров от дома, и в этот же момент он не может быть ещё и на расстоянии километра, то есть в один момент времени он может быть только в одном месте. Итак, реальные процессы таковы, что накладывают на функции упомянутое ограничение

Обзор известных функций

Вспомним известные нам функции:

1) , функция равна константе. Для нашего примера это можно описать тем, что ученик находится в школе, то есть время идёт, а расстояние от дома не меняется.

2) – прямая пропорциональность. Мы помним, что в зависимости от значения функция может возрастать или убывать. Вспомним графики первых двух функций, для примера построим графики функций ,,:

Напомним, что любой график прямой пропорциональности проходит через начало координат, при этом если положительное, то функция возрастает, а если отрицательное – функция будет убывать.

3) - линейная функция, она задается двумя параметрами – и . Возьмём пример: , построим график, напомним, что для этого достаточно взять две точки – составим таблицу:

,

Напомним, что параметр – это ордината точки пересечения графика с осью , а параметр как и в случае прямой пропорциональности отвечает за то, будет ли функция возрастать или убывать.

4) – график данной функции парабола, напомним её вид:

Отметим, что переменные можно называть как угодно, например вместо  можно написать от этого вид функциональной зависимости не изменится.

Вернёмся к нашему примеру, где ученик идёт в школу, находится в школе и возвращается домой. Расстояние будем откладывать по оси а время по оси .

На участке показано, как ученик идёт в школу, расстояние его от дома увеличивается до конкретной точки – в этот момент он пришёл в школу. Далее на участке ученик находится в школе, расстояние его от дома остается неизменным. После этого на участке он возвращается домой, причём скорость его меньше, чем когда он шёл в школу, так как значение функции изменяется медленнее. В какой-то момент расстояние становится равным нулю – это означает, что ученик пришёл домой.

Данный пример говорит нам о том, что функция может на разных участках быть описана по-разному.

Решение примера, в котором сочетаются многие типовые задачи

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

;

1) вычислить значение функции при ,,,,;

2) построить график функции;

3) прочесть график и определить свойства данной функции.

Начнём с построения графика:

Для первого интервала, где  составим таблицу для нахождения двух точек:

Для второго интервала, где , также составим таблицу:

Итак, построим график:

Теперь вычислим необходимые значения функции: , подставляем значение в функцию , так как  принадлежит интервалу . В эту же функцию подставляем и значение ,. Значения  и  подставляем в функцию , так как эти значения х принадлежат интервалу ,,; значение  подставляем в функцию , так как оно входит в интервал , получаем .

Нам осталось прочесть график. Итак, если аргумент возрастает , функция возрастает . Когда аргумент возрастает , функция убывает , наконец когда аргумент возрастает  функция остается неизменной и равна четырём. Область определения функции: , то есть данная функция существует только на этом интервале, и если нам нужно было бы вычислить значение в точке , мы не смогли бы этого сделать, так как в этой точке она не существует – не определена. Минимальное значение функции есть, и оно равно -2:; при двух значениях аргумента: и . Функция больше нуля при следующих значениях аргумента: 

и .

Функция принимает отрицательные значения на следующем отрезке:

.

Подведение итогов урока

Вывод: в данном уроке мы объяснили смысл записи  и провели обзор известных нам графиков функций. Мы узнали, что функция может быть задана на разных интервалах по-разному и рассмотрели пример подобного задания, в котором выполнили различные типовые задачи.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «alexlarin.net».

Проверь себя

Задание 1: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 799, с. 167.

Задание 2: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 806, с. 168.

Задание 3: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 807, с. 168.