16. Геометрическая задача на параллелепипед с применением формулы сокращённого умножения

На этом видеоуроке все желающие смогут изучить тему «Геометрическая задача на параллелепипед с применением формулы сокращённого умножения». В ходе этого занятия учащиеся смогут потренироваться в использовании формулы сокращённого умножения для параллелепипеда. В частности, учитель даст геометрическую задачу на параллелепипед, которую необходимо разобрать и решить.

Формулировка темы урока и условия задачи

Сформулируем условие задачи:

в прямоугольном параллелепипеде длина на см больше ширины и на см меньше высоты. Площадь поверхности параллелепипеда – см². Найдите измерения параллелепипеда.

Подобные задачи на параллелепипед предусматривают использование метода математического моделирования. Вспомним основные геометрические факты.

Напоминание некоторых теоретических положений

Площадь поверхности параллелепипеда состоит из суммы площадей поверхностей всех граней (рис. 1).

Решение задачи

Перейдём к решению нашей задачи с использованием площади поверхности параллелепипеда. Первый этап математического моделирования – составление математической модели:

Примем длину параллелепипеда за . Тогда его ширина составит , а высота составит .

Применим введённые переменные к граням прямоугольника:

, , .

Запишем, чему равна площадь поверхности параллелепипеда:

Математическая модель составлена.

Переходим ко второму этапу – работа с математической моделью.

Разделим обе части составленного уравнения на два:

;

.

Раскроем скобки:

.

Приведём подобные члены:

;

.

Сократим обе части на три:

;

;

.

Произведение двух выражений равно нулю, значит, по крайней мере одно из этих выражений равно нулю. Запишем два новых уравнения и решим их:

; ;

; ;

.

Переходим к последнему этапу – ответ на вопрос задачи.

Поскольку за была принята длина параллелепипеда, то отрицательный корень уравнения сразу отбрасываем. Итак, длина равна см. Ширина была обозначена как , значит, она равна см; высота была обозначена как , она равна см.

Ответ: измерения прямоугольника – см, см, см.

Выводы по уроку про параллелепипед, формулы

На данном уроке мы решили геометрическую задачу с площадью поверхности параллелепипеда с помощью математического моделирования. Решили уравнение с многочленами, тем самым закрепив некоторые навыки работы с ними.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. В прямоугольном параллелепипеде длина на см меньше ширины и на см больше высоты. Площадь поверхности –  см². Найдите объём параллелепипеда.

2. В прямоугольном параллелепипеде длина на см больше ширины и на см меньше высоты. Площадь поверхности –  см². Найдите измерения параллелепипеда.

3. В прямоугольном параллелепипеде длина на см больше ширины и на см меньше высоты. Площадь поверхности –  см². Найдите объём параллелепипеда.