05. Линейная функция и её график (В. А. Тарасов)

На данном уроке мы познакомимся с понятием линейной функции, выведем ее в общем виде и рассмотрим частные случаи. Введем новую терминологию, рассмотрим типовые задачи и элементарные примеры.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Числовые функции» и «Функции».

Напоминание некоторых теоретических фактов и решение опорной задачи

В предыдущих уроках мы изучали линейное уравнение с двумя переменными, это уравнение вида . Мы выяснили, что графиком данного уравнения является прямая. Рассмотрим пример:

Пример 1:

Перепишем его таким образом, чтобы у был в одной части, а все остальное в другой:

Сократим на 2:

Перенесём у в левую часть, а все остальное в правую:

Мы получили частный случай уравнения в котором y стоит обособленно в левой части, графиком обоих выражений будет одна и та же прямая, но запись мы будем называть линейной функцией у от

Построим график данной функции, для этого составим таблицу:

Выведение линейной функции и её параметров в общем случае, введение новых терминов

Определим линейную функцию в общем случае из линейного уравнения с двумя переменными:

Поскольку можем обе части поделить на :

Введем более удобные обозначения:

Получаем выражение:

Для примера № 1

Таким образом, пара чисел и задают конкретную линейную функцию.

Введём некоторую терминологию. В линейной функции переменную называют независимой переменной или аргументом функции, мы сами можем выбирать произвольное значение и по нему находить соответствующее значение

 называют зависимой переменной или функцией.

Линейная функция характеризуется тем, что если задано значение можно сразу получить значение – это линейная функция от

Найдём для линейной функции в общем виде (3) точки пересечения с осями. Для всех точек на оси характерно то, что их абсцисса – координата равна нулю.

;

Точка пересечения с осью

Отсюда геометрический смысл переменной – это ордината точки пересечения прямой с осью Параметр однозначно задает точку пересечения прямой с осью ординат.

Параметр  носит название угловой коэффициент.

Для всех точек на оси характерно то, что их ордината равна нулю. Найдём точку пересечения нашей функции с осью :

Точка пересечения с осью

Решение примера, выявление свойств параметров линейной функции

Пример 2:

Построим графики двух линейных функций:

В функции

В функции

Для построения графиков составим таблицы, в которых запишем точки их пересечения с осями координат:

Таблица для функции

Таблица для функции

Итак, из построения мы видим, что когда (прямая ) угол между прямой и положительным направлением оси острый, а когда (прямая ) угол между прямой и положительным направлением оси тупой.

Корнем функции является число , потому что именно при этом значении функция обращается в ноль.

Корнем функции является число так как при данном значении функция обращается в ноль.

Отметим, что решением следующей системы:

Является точка .

Решение типовых задач

Пример – найти и :

Задано линейное уравнение, так как и стоят в первой степени, с двумя переменными.

Чтобы найти и , выполним преобразования:

Запишем полученное выражение в стандартном виде:

Отсюда очевидно, что , а

Пример – найти и :

Преобразуем правую часть:

Запишем полученное выражение в стандартном виде:

Отсюда очевидно, что , а

Итак, одна из стандартных задач – это нахождение по заданному линейному уравнению параметров линейной функции и .

Ещё две стандартные задачи – по заданному значению найти и наоборот, по заданному значению найти Рассмотрим пример.

Пример – найти значение при :

Такую задачу иногда называют прямой задачей.

Пример – найти значение аргумента, если :

Эта задача называется обратной.

Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели линейную функцию как в частных случаях, так и в общем виде, определили параметры линейной функции и их значение, ввели некоторые новые термины, научились решать элементарные типовые задачи.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «FizMat.by»

Проверь себя

1. Задание 1: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 317, ст.74;

2. Задание 2: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 319, ст.74;

3. Задание 3: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 322, ст.75;