01. Координатная прямая

На данном уроке мы познакомимся с понятием координатной прямой, выведем её основные характеристики и свойства. Сформулируем и научимся решать основные задачи. Решим несколько примеров на сочетание этих задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Связь числа и геометрии. Часть 2. Треугольники. Координаты».

Формулировка определения координатной прямой и её отличий от обычной прямой

Из курса геометрии мы знаем, что такое прямая, но что нужно сделать с обычной прямой, чтобы она стала координатной?

1. Выбрать точку начала отсчёта;

2. Выбрать направление;

3. Выбрать масштаб.

1 — обычная прямая, 2 – координатная.

Координатной прямой называется такая прямая l , на которой выбрана начальная точка О – начало отсчёта, масштаб – единичный отрезок, то есть такой отрезок, длина которого считается равной единице, и положительное направление.

Описание основного свойства координатной прямой и двух основных задач, с ним связанных

Координатную прямую также называют координатной осью или осью

Выясним, зачем нужна координатная прямая, для этого определим её основное свойство. Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между множеством всех чисел и множеством всех точек на этой прямой. Приведём примеры:

Заданы два числа: (знак «», модуль равен трём) и  (знак «», модуль равен трём).Изобразим эти числа на координатной прямой:

Здесь число  называется координатой число  – координатой В.

Говорят также, что образом числа есть точка с координатой а образом числа есть точка D с координатой :

Итак, поскольку основное свойство координатной прямой – это установление взаимооднозначного соответствия между точками и числами, то возникает две основные задачи: указать точку по заданному числу, мы это уже сделали выше, и указать число по заданной точке. Рассмотрим пример второй задачи:

Решение примеров

Пример 1:

Пусть дана точка М:

Чтобы определить по данной точке число, нужно в первую очередь определить расстояние от начала отсчёта до точки. В данном случае расстояние равно двум. Теперь нужно определить знак числа, то есть в каком луче прямой лежит точка М. В данном случае точка лежит справа от начала отсчёта, в положительном луче, значит число будет иметь знак «».

Пример 2:

Возьмём ещё одну точку и по ней определим число:

Расстояние от начала отсчета до точки аналогично предыдущему примеру равно двум, но в данном случае точка лежит слева от начала отсчёта, на отрицательном луче, значит точка характеризует число

Формулировка основных типовых задач и решение примеров

Все типовые задачи, связанные с координатной прямой, так или иначе связаны с её основным свойством и двумя основными задачами, которые мы сформулировали и решили.

К типовым задачам относятся:

• уметь расставлять точки и их координаты;

• понимать сравнение чисел:

Пример 3:

выражение означает, что точка с координатой лежит правее точки с координатой :

И наоборот, если нам задано расположение точек на координатной прямой, мы должны понимать, что их координаты связаны определенным соотношением:

Пример 5:

Пусть заданы точки и :

Мы видим, что точка лежит правее точки значит, их координаты соотносятся как

Определение расстояния между точками.

Пример 6:

Мы знаем, что расстояние между точками Х и А равно модулю числа , пусть даны две точки:

Тогда расстояние между ними будет равно:

Ещё одна очень важная задача – это геометрическое описание числовых множеств.

Пример 7:

Рассмотрим луч, который лежит на координатной оси, не включает своё начало, но включает все остальные точки:

Итак, у нас задано множество точек, расположенных на координатной оси. Опишем множество чисел, которое характеризуется данным множеством точек. Таких чисел и точек бесчисленное множество, поэтому данная запись выглядит так:

или

Сделаем пояснение: при втором варианте записи если ставят круглую скобку «(» значит крайнее число – в данном случае число не включается в множество, если же поставить квадратную скобку «[», то крайнее число включается в множество.

Итак, мы записали аналитически числовое множество, которое характеризует заданное множество точек. аналитическая запись, как мы сказали, выполняется или в виде неравенства, или в виде промежутка.

Пример 8:

Задано множество точек:

В данном случае точка входит в множество. Опишем аналитически множество чисел:

Обратим внимание, что после или перед знаком бесконечности всегда ставят круглую скобку, так как бесконечности мы никогда не достигнем, а около числа может стоять как круглая скобка, так и квадратная, в зависимости от условий поставленной задачи.

Рассмотрим пример обратной задачи.

Пример 9:

Дана координатная прямая. Изобразить на ней множество точек, соответствующих числовому множеству

 и :

Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между любой точкой и числом, а значит и между числовыми множествами и множествами точек. Мы рассмотрели лучи, направленные как в положительном, так и в отрицательном направлении, включающие свою вершину и не включающие её. Теперь рассмотрим отрезки.

Пример 10:

Задано множество чисел . Изобразить соответствующее множество точек

Пример 11:

Задано множество чисел . Изобразить множество точек:

Иногда чтобы показать, что концы отрезка не включаются в множество, рисуют стрелки:

Решение задач на выполнение нескольких типовых действий

Пример 12:

Дано числовое множество . Построить его геометрическую модель:

Найти наименьшее число из промежутка :

Найти наибольшее число из промежутка , если оно существует:

Мы может отнять от восьми сколь угодно малое число и сказать, что результат и будет наибольшим числом, но тут же найдём число ещё меньше, и результат вычитания увеличится, так что найти наибольшее число в данном промежутке невозможно.

Обратим внимание на тот факт, что ни к одному числу на координатной прямой нельзя подобрать ближайшее число, потому что всегда найдётся число ещё ближе.

Сколько натуральных чисел содержится в заданном промежутке?

Из промежутка выделим следующие натуральные числа: 4, 5, 6, 7 – четыре натуральных числа.

Напомним, что натуральные числа – это числа, применяемые для счёта.

Возьмём другое множество.

Пример 13:

Задано множество чисел

Построить его геометрическую модель:

Найти наименьшее число:

Очевидно, что наименьшим числом является

Найти наибольшее число:

Наибольшего числа мы найти не можем, так как единица не входит в множество.

Сколько натуральных чисел в данном множестве?

Натуральные числа – это числа используемые для счёта и начинается ряд натуральных чисел с единицы, а она в множество не входит, значит натуральных чисел нет

Сколько целых чисел в данном множестве?

Напомним, что в множество целых чисел входят число и все натуральные числа, взятые со знаками плюс и минус:

В наше множество входят такие целые числа: – четыре целых числа.

Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы познакомились с понятием координатной прямой, узнали её отличие от прямой обычной, сформулировали основное свойство и на его основании составили ряд типовых задач. Решили несколько примеров к каждой задаче и примеры, в которых решается несколько задач сразу.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «Математика».

Проверьте себя

1. – записать аналитически множество чисел, характеризующееся данным множеством точек:

а)

б)

в)

г)

2. – нарисовать геометрическую модель множества точек, заданного аналитически:

а)

б)

в)

г)

3. – заданное множество чисел изобразить на координатной прямой, определить максимальное и минимальное: значение из множества, если таковые есть, найти количество натуральных и целых чисел в заданном множестве:

а)

б)

в)

г)