02. Линейная функция

На данном уроке мы вспомним понятия линейного уравнения с двумя переменными и линейной функции. Мы вспомним основные определения и смысл параметров линейной функции. Кроме того, решим несколько различных типовых задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Числовые функции» и «Функции».

Определение линейного уравнения, решение опорного примера

На предыдущих уроках мы изучали линейное уравнение с двумя переменными, это уравнение вида . и – переменные, – конкретные числа, параметры, коэффициенты. Например,

Мы выяснили, что графиком данного уравнения является прямая. Чтобы её построить, составляют таблицу. Построим график для нашего примера:

При составлении таблицы мы выбирали произвольные значения или подставляли в уравнение и находили значение второй переменной.

Для построения графика мы строим две точки по таблице и проводим через них прямую (рис. 1).

На данной прямой много точек, и каждая соответствует паре чисел и

Решением уравнения является такая пара чисел и которая при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство. Если мы возьмём любую точку на прямой и подставим её координаты в уравнение, мы получим верное числовое равенство: множество точек на данной прямой – это множество решений заданного уравнения.

Определение линейной функции, смысл её параметров, прямая пропорциональность

Наша задача – это показать линейное уравнение в виде линейной функции, для этого нужно выразить через :

Поделим уравнение на два:

В общем виде линейная функция выглядит следующим образом:

В линейной функции переменную называют независимой переменной или аргументом функции;  называют зависимой переменной или функцией.

Найдём для линейной функции в общем виде точки пересечения с осями. Для всех точек на оси характерно то, что их абсцисса – координата равна нулю.

Точка пересечения с осью

Геометрический смысл параметра – это ордината точки пересечения графика линейной функции с осью Параметр однозначно задаёт точку пересечения прямой с осью ординат.

Параметр  носит название угловой коэффициент и определяет угол наклона графика к оси абсцисс.

Построим графики двух линейных функций:

В первой функции

Во второй функции

Для построения графиков составим таблицы, в которых запишем точки их пересечения с осями координат:

Таблица для первой функции

Таблица для второй функции

Итак, из построения мы видим, что когда (прямая) угол между прямой и положительным направлением оси острый, а когда (прямая ) угол между прямой и положительным направлением оси тупой.

Кроме того, очевидно, что при положительном  функция возрастает, а при отрицательном – убывает.

Важен частный случай линейной функции.

Если . Данная функция называется прямой пропорциональностью. Она определяется единственным параметром Любой график такой функции проходит через начало координат – точку ().

Рассмотрим типовые задачи: прямая задача – по значению аргумента найти значение функции; обратная задача – при известном значении функции определить значение аргумента, при котором данное значение функции достигается. Рассмотрим пример.

Решение типовых задач

Пример 1:

Прямая задача: пусть , найдём

Обратная задача: пусть , определим

Следующая задача – чтение графика функции. Мы рассматривали пример , здесь не имеет ограничений. Теперь рассмотрим ту же функцию , но

Определим промежуток значений функции: , то есть, когда аргумент задан в интервале , функция изменяется . Сформулируем типовые задачи:

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке;

Наибольшее значение:

Наименьшее значение:

Параллельность прямых

Вспомним условие параллельности прямых. Продемонстрируем на примере. Рассмотрим несколько функций:

• – прямая пропорциональность;

• – линейная функция;

• – линейная функция.

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры и определяются из стандартного вида линейного уравнения .

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для первой функции

Таблица для второй функции

Таблица для третьей функции

Как мы видим, построенные прямые параллельны, причиной тому является равенство их угловых коэффициентов. Есть теорема, которая гласит: если – график прямой пропорциональности, то график будет ему параллелен, так как коэффициент определяет угол наклона к оси абсцисс, и этот коэффициент у функций равный.

Чтение графиков, определение параметров линейной функции

Пример 2: определить знаки параметров и :

Заданы графики функций (рис. 4-7):

Прямая пересекает ось в положительном её луче, значит имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси острый, функция возрастает, значит знак – также плюс.

Прямая пересекает ось в положительном её луче, значит имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси тупой, функция убывает, значит знак – минус.

Прямая пересекает ось в отрицательном её луче, значит имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси острый, функция возрастает, значит знак – плюс.

Прямая пересекает ось в отрицательном её луче, значит имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси тупой, функция убывает, значит знак – также минус.

Выводы по уроку

На данном уроке мы рассмотрели понятие линейного уравнения и линейной функции, вспомнили вид графика линейной функции и смысл её параметров. Мы также решили основные опорные задачи и вспомнили некоторые важные факты.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «fizmat.by»

Проверь себя

1. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, №318, ст. 74;

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, №320, ст. 74;

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, №327, ст. 75.