04. Линейное уравнение с двумя переменными и его график (более сложные случаи)

На данном уроке мы научимся решать более сложные задачи, в которых речь идёт о линейных уравнениях с двумя неизвестными. Мы закрепим технику решения данных уравнений и построения графиков, вспомним теоретические основы и добавим к ним некоторые факты.

Напоминание теоретических основ

Напомним, что линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

Мы научились строить графики подобных уравнений и узнали, что они имеют бесчисленное множество решений – пар чисел и которые на графике отображаются в виде точек.

В предыдущих задачах нам было задано уравнение, но как и все другие – линейное уравнение с двумя переменными это математическая модель некоторой реальной ситуации. Теперь рассмотрим такие задачи, в которых нужно для простейшей задачи составить уравнение – математическую модель, а затем его решить.

Решение текстовой задачи

Пример 1:

Сумма двух чисел равна четырём. Построить математическую модель, то есть соответствующее линейное уравнение, и его график.

Пусть искомые числа это и сумма их равна четырём:

– линейное уравнение с двумя переменными. Построим график, для этого составим таблицу, для контроля возьмём три точки, а не две:

Решение задачи сведено в таблицу:

Следующая группа задач связана с тем, что в одной задаче могут участвовать два линейных уравнения.

Решение задачи на два уравнения

Пример 2:

Графически найти точку пересечения прямых и

Обе прямые являются графиками соответствующих уравнений, построим их. Для этого составим таблицы. Для удобства представим уравнение в следующем виде:

Графически найдена точка пересечения

Чтобы проверить, что точка удовлетворяет обоим уравнениям, нужно подставить её координаты в уравнения:

точка удовлетворяет обоим уравнениям, значит, точка пересечения прямых найдена верно.

Решение уравнения с параметрами

Следующий тип задач – это задачи с параметрами.

Пример 3:

Найдите значение коэффициента  в уравнении , если известно, что решением уравнения является пара чисел .

Ранее у нас было задано или мы сами составляли линейное уравнение с известными коэффициентами, в данном случае один из коэффициентов неизвестен, но дано одно из решений уравнения, то есть пара значений и удовлетворяющих уравнению. Чтобы найти параметр  подставим данные значения в уравнение:

итак, исходное уравнение имеет вид:

Выводы по уроку

Итак, мы рассмотрели линейное уравнение с двумя неизвестными:

Отметим, что в случае, если , мы получаем частный случай данного уравнения – уравнение с одной переменной:

Аналогично если мы получим линейное уравнение с одной переменной:

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели более сложные задачи на линейные уравнения с двумя переменными, в частности текстовые задачи, уравнения с параметрами, задачи на два уравнения. Кроме того мы закрепили знание понятий и терминов.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

1. Задание 1: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 980, ст.212;

2. Задание 2: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 981, ст.212;

3. Задание 3: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 986, ст.212.