10. Линейное уравнение с одной переменной (В. А. Тарасов)

На данном уроке мы начнём изучение темы «Уравнения». Мы рассмотрим линейное уравнение с одной переменной в общем виде, а также на конкретных примерах. Кроме того, решим текстовые задачи.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства».

Основные определения, истоки уравнения

Определение

Линейным уравнением с одной неизвестной называется уравнение вида:

.

Здесь  – искомая неизвестная, и  – коэффициенты, параметры.

Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться в том, что решений нет.

Определение

Корень уравнения – это такое значение при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Линейное уравнение описывает равномерное прямолинейное движение с постоянной скоростью:

– путь равен произведению скорости и времени.

Если перенести все слагаемые в одну сторону, получим:

.

Выполним переобозначение:

.

Получим изучаемое линейное уравнение.

Решение уравнений в общих и частном случаях

Пример 1:

Прибавим три к обеим частям уравнения – при этом равенство не изменится:

.

Разделим обе части на два:

.

Ответ: .

Комментарий: наша главная цель – найти для этого мы выполняем одинаковые преобразования над обеими частями уравнения.

Решим уравнение в общем виде:

.

Отнимем в обеих частях число

.

Поскольку имеем право обе части поделить на

.

Вывод: при линейное уравнение имеет единственный корень: .

Рассмотрим случай, когда :

.

Уравнение имеет бесчисленное множество решений, любое действительное  удовлетворяет уравнению

.

Решений нет.

Так, в общем случае уравнение имеет решение:

При .

При – любое число, бесчисленное множество решений.

При решений нет.

В рассматриваемое линейное уравнение неизвестное  входит в первой степени, поэтому такое уравнение носит название уравнения первой степени, к нему сводятся многие другие уравнения.

Пример 2:

.

Используя свойства уравнения, имеем право перенести слагаемое из правой части урaвнения в левую с противоположным знаком или слагаемое из левой части - в правую тоже с противоположным знаком. Перенесем все члены с  влево, а числа вправо:

.

Поделим обе части на два:

.

Ответ: .

Пример 3:

.

Раскроем скобки:

.

Прибавим пять к обеим частям уравнения:

.

Поделим обе части на два:

.

Очевидно, что решением данного уравнения может быть любое число.

Ответ: уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Пример 4:

.

Раскроем скобки:

Перенесём все члены с  влево, а числа вправо:

.

Получено неверное числовое равенство.

Ответ: решений нет.

Решение текстовых задач

Пример 5: решить задачу.

Папе и дедушке вместе лет. Сколько лет каждому, если папа в два раза моложе дедушки?

Решение: пусть папе  лет. Поскольку дедушка в два раза его старше, ему лет. Тогда имеем уравнение:

.

Поделим обе части на три:

.

Так, папе лет. Тогда дедушке года.

Ответ: папе лет, дедушке года.

Пример 6

При каком значении  значение выражения в три раза больше значения выражения ?

Решение

Если первое выражение в три раза больше второго, имеем право второе умножить на три и приравнять:

.

Раскроем скобки:

.

Перенесём все члены с  влево, а числа вправо:

.

Поделим обе части на минус семь:

.

Ответ: при первое заданное выражение в три раза больше второго.

Вывод: на данном уроке мы рассмотрели линейное уравнение с одной переменной и выяснили его специфику. Такое уравнение может иметь одно решение, бесчисленное множество решений или вовсе не иметь решений.

Список литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

Проверьте себя

1. Решить уравнения:
   а) ;
   б) ;
   в) ;
   г) .

2. Решить уравнения:
   а) ;
   б) ;
   в) ;
   г) .

3. Первое число в пять раз больше второго и два раза меньше третьего. Сумма чисел составляет Найдите заданные числа.

Полезные ссылки

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».

2. Образовательная социальная сеть.