03. Линейное уравнение с одной переменной (Г. Г. Гаицгори)

На этом уроке мы вспомним, что такое уравнение, где мы встречаемся с ними в жизни и для решения каких задач они могут пригодиться. Кроме того, мы рассмотрим один из видов уравнений, самый простой – линейные уравнения с одной переменной. Научимся решать линейные уравнения в стандартном виде, а также выполнять тождественные преобразования (не меняющие набор корней уравнения) с уравнениями, которые можно свести к линейным.

Уравнения в нашей жизни

Шерлок Холмс прославился тем, что он мог по наблюдаемым, хотя, казалось бы, далёким деталям делать выводы или предположения о людях и событиях, которых он совсем не знал или был едва знаком.

- Здравствуйте! – приветливо сказал Холмс, пожимая мне руку с силой, которую я никак не мог в нём заподозрить.

- Я вижу, вы жили в Афганистане.

- Как вы догадались? – изумился я.

Чуть позже Холмс объясняет цепочку умозаключений, которая привела его к такому выводу:

Этот человек по типу – врач, но выправка у него военная. Значит, военный врач. Он только что приехал из тропиков – лицо у него смуглое, но это не природный оттенок его кожи, так как запястья у него гораздо белее. Лицо измождённое, - очевидно, немало натерпелся и перенес болезнь. Был ранен в левую руку – держит её неподвижно и немножко неестественно. Где же под тропиками военный врач-англичанин мог натерпеться лишений и получить рану? Конечно же, в Афганистане».

В повседневной жизни мы тоже делаем подобные открытия. Если вы пришли домой и видите в прихожей лишнюю пару обуви, то понимаете, что дома гости (хотя самих гостей вы ещё не увидели) (рис. 1). Если обувь большого и маленького размера, то легко догадаться, что пришли взрослые и дети.

Иногда мы используем вычисления, чтобы по косвенным и непрямым данным определить то, что от нас скрыто. Рассмотрим пример.

Пример 1. Мама пошла в магазин и купила  килограммов огурцов за  рублей. По этим данным определить стоимость одного килограмма огурцов.

Решение: Для нахождения стоимости одного килограмма огурцов разделим общую стоимость огурцов на количество купленных килограммов:

Ответ:  рублей.

В примерах выше по видимой и известной нам информации мы определили то, что от нас было скрыто.

Задача на составление уравнения с одной переменной

Задача 1. У пяти мальчиков поровну яблок, а всего яблок . Как узнать, сколько яблок у каждого мальчика?

Решение: Итак, мальчиков  и у каждого неизвестное одинаковое число яблок – обозначим это как «количество яблок у мальчика».

Запишем, сколько тогда всего яблок:

По условию задачи всего яблок , т. е.:

Мы переписали условие задачи в эквивалентном виде и получили уравнение. Уравнение содержит всю информацию из условия задачи, которая необходима для решения.

Т. к. писать каждый раз «количество яблок у мальчика» неудобно, то используем буквы, например, Я:

Однако в математике традиционно используются латинские буквы (например, ), т. е. уравнение можно записать так: .

Это уравнение содержит известную нам информацию о мальчиках и яблоках, решим его. Какое число нужно умножить на чтобы получилось ? Это число :

Значит, у каждого мальчика было по  яблок, т. е. .

Ответ:  яблок.

Конечно, для решения этой задачи было необязательно составлять уравнение, однако часто информация, которая задана, не так просто преобразуется в итоговый ответ.

Линейное уравнение

При эквивалентном переписывании условия задачи могут получаться разные уравнения.

Например, в рассмотренном выше примере получилось уравнение:

Такое уравнение называется линейным (о том, почему оно так называется, мы поговорим на следующих уроках).

Стандартное линейное уравнение имеет вид:

 где и  – любые фиксированные числа,  – переменная – то, что требуется найти.

Как решать уравнение

Вспомним, что деление – это действие, обратное умножению, т. е.

Значит, решением уравнения ,  будет

Пример 2. Дано уравнение: . Найти

Решение:

Ответ: .

Пример 3. Дано уравнение: . Найти

Решение:

Ответ: . 

При переписывании в эквивалентном виде условия задачи может получиться любое уравнение, необязательно вида , . Но есть много уравнений, которые можно свести к такому виду с помощью эквивалентных преобразований, например, . В этом нам помогут тождественные преобразования уравнений.

Прибавление одинаковых выражений к обеим частям уравнения / их вычитание из обеих частей уравнения

Представим, что у нас есть две чаши весов, которые уравновешены.

Нарушится ли равенство, если мы добавим на каждую из чаш гирю одинаковой массы? Конечно, нет.

Вернёмся к уравнению: .

Левую и правую части уравнения можно считать чашами таких весов. То есть мы можем прибавить к обеим частям уравнения одинаковые выражения – от этого равенство не нарушится, мы получим эквивалентное уравнение.

Умножение/деление обеих частей уравнения на ненулевое число

Снова вернёмся к аналогии с весами: пусть сначала они были уравновешены, а потом мы положили на каждую чашу ещё ровно столько, сколько там было, т. е. увеличили массу в  раза. При этом равновесие не нарушится (pис. 6).

Если увеличить массу на каждой чаше весов в  раза или в  раз, то равновесие всё равно сохранится. Так, если обе части уравнения умножить на одно и то же ненулевое число, то полученное уравнение будет эквивалентно предыдущему.

Аналогично, можно забрать с каждой чаши половину, треть или какую-то другую одинаковую часть (уменьшить в несколько раз) – равновесие не нарушится. Если обе части уравнения разделить на одно и то же ненулевое число, то при этом получится уравнение, эквивалентное исходному.

Обратите внимание, что ни умножать, ни делить обе части уравнения на  не имеет смысла. С делением на  понятно – оно не определено, а вот почему умножение на  не имеет смысла, читайте ниже.

Решение уравнений (алгоритм сведения уравнений к линейным)

Решим несколько уравнений, которые можно свести к линейным.

Существует общий алгоритм их решения: для этого сначала нужно перенести в одну часть все слагаемые, которые содержат переменную, а в другую часть – все слагаемые, которые её не содержат. Затем нужно упростить выражения, которые стоят в левой и правой частях.

Пример 4. Решить уравнение:

Решение: Здесь все слагаемые, которые содержат переменную, уже стоят в левой части уравнения, а все слагаемые, которые её не содержат, стоят в правой части. Поэтому можно просто упростить выражение – выполнить действия в обеих частях:

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение:

Решение: Перенесём все слагаемые с переменной в левую часть, а все слагаемые без переменной – в правую часть.

Перенесём слагаемое  из левой части уравнения в правую и сменим его знак на противоположный:

Ответ:

Пример 6. Решить уравнение: .

Решение

Способ 1. Избавимся от знаменателя в левой части уравнения, для этого умножим обе части уравнения на :

Способ 2. Такое уравнение можно решить по-другому, как линейное уравнение стандартного вида:

Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение:

Решение: Сначала раскроем скобки, используя распределительный закон ():

А теперь сгруппируем подобные слагаемые, то есть все слагаемые с переменной перенесём в левую часть, а остальные – в правую (не забываем при переносе менять знак):

Ответ: .

Пример 8. Решить уравнение:

Решение

Способ 1. Перенесём слагаемые с неизвестной в одну сторону, а все остальные – в другую, получим:

Приведём все слагаемые к общему знаменателю:

Способ 2. Избавимся от знаменателей: умножим обе части уравнения на такое число, которое делится и на и на и на и на т. е. наименьшее общее кратное всех этих чисел – на :

Перенесём все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а все слагаемые без переменной – в правую:

Ответ:

Таким образом, встречая какое-то уравнение, мы можем попробовать привести его с помощью тождественных преобразований к линейному уравнению вида , . А такие уравнения мы уже умеем решать.

Напомним тождественные преобразования, которые мы использовали при решении уравнений:

1. Прибавление одинаковых выражений к обеим частям уравнения / вычитание одинаковых выражений из обеих частей уравнения.

2. Умножение и деление на ненулевое число обеих частей уравнения.

Обратите внимание: тождественные преобразования верны не только для линейных уравнений, но и для любых уравнений в целом, поэтому они нам понадобятся и в дальнейшем.

Заключение

На этом уроке мы научились решать линейные уравнения с одной переменной стандартного вида. Кроме того, мы познакомились с тождественными преобразованиями, которые позволяют сводить линейные уравнения к стандартному виду, а значит, решать их.

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, «Просвещение», 2017.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра. 7 класс. Учебник. «Просвещение», 2014.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. «Просвещение», 2013.

Проверь себя

1. В двух классах  человек. Сколько среди них мальчиков и сколько девочек, если девочек на  больше, чем мальчиков? Составьте и решите уравнение, обозначив за  количество мальчиков в классе.

2. Решите уравнение:

3. Решите уравнение: .